Exo Complexe...

[invite96c17354]

Bonjour,

Je suis confronté à un exercice qui me demande de déduire de la démonstration de la formule :

lz+z'l²+lz-z'l²=2(lzl²+lz'l²)

que, dans un parallèlogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés...

L'ennui c'est que je n'arrive pas à me cabler sur une piste de reflexion concernant cette question. C'est pourquoi je vous demande un petit coup de pied au train pour m'orienter, sans pour autant me donner la réponse complète au problème .

Merci beaucoup !
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[invite88ef51f0]

Salut,
Tu dois savoir que |z|²=z.z* (où z* est le conjugué de z)...

[invitef72e0b9f]

A chaque coté de ton parallelogramme tu peux faire correspondre un complexe, ce dernier étant l'affixe du vecteur formant le coté dudit parallelogramme. Tu ramenes alors ton probleme au niveau des complexes, et c'est évident.

[invite88ef51f0]

Ouh la, effectivement, j'ai lu beaucoup trop vite...
Effectivement, il faut voir à quoi correspondent géométriquement les différents complexes étudiés.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite96c17354]

Bonjour,

Merci pour vos réponses !
En effet, faisant correspondre un complexe à chacun des coté, j'ai reussit a en deduire la propriété.

Si on prends z pour un des deux cotés différents et z' pour l'autre, on obtient que z+z' est en fait une diagonale et z-z' est l'autre .
et donc cette égalité veut dire ce qu'elle veut dire !

Mais, par contre, je n'ai pas réussit a montrer mathématiquement l'égalité. Même en me servant de la propriété lzl²= lzlxlz*l (avec z* le conjugé de z). J'arrive toujours à une impasse.

Bon, c'est la rentrée et les vacances ont presque eu le role d'un lavage de cerveau , donc je suppose que je ne me rappel plus d'une règles basique avec les modules.

Est-ce qu'il me faut parler du parallèlogramme pour la démonstration ou je peux y arriver mathématiquement en partant d'un côté de l'égalité pour arriver à l'autre ? (ce que j'essayais de faire jusqu'alors !)

Merci de m'aiguiller une nouvelle fois .

[invite88ef51f0]

Il suffit de d'écrire les modules sous la forme d'un produit de complexes et de développer...
Par exemple |z+z'|²=(z+z').(z+z')*=(z+z'). (z*+z'*)=... Je te laisse finir.

[invite96c17354]

Effectivement ! C'est beaucoup plus clair !

Mon problème, c'est que j'avais mal compris ton post avec la relation "|z|²=z.z* " car je l'ai interprété comme |z|²=lzl.lz*l ce qui est différent ici !
Et autant que je m'en souvienne, je ne me rappel plus de cette propriété ! (Même si elle se démontre très facilement.)

En tout cas, merci. Ca m'a bien aidé .

Sans doute que d'ici là, je reviendrais vous voir à la charge puisque j'ai encore un bonne feuille d'exo de ce genre à faire .

[invite96c17354]

ah je vous avais dit que j'aurais encore un problème !

Ca tombe bien, c'est toujours dans le même principe !

Là j'ai résolu mon problème, mais je ne suis pas sur de la méthode que j'ai employé... donc c'est un peu comme si je la soumettais à correction !

Je vous expose le problème :

Alors,

Soit z et z' appartement a C (complexe).

J'ai l'inéquation suivante : lz+z'l + lz-z'l < (ou egal) 2( lzl + lz'l )

Il faut que je déduise de cette inéquation que :

lzl + lz'l < (ou egal) lz+z'l + lz-z'l


J'ai dit : Soit les nombres complexe Z et Z' tel que
Z = z + z' et Z' = z - z'

A partir de là j'en déduis que :

Z - Z' = 2 z' donc l Z - Z' l = 2 lz'l
et
Z + Z' = 2 z donc l Z + Z' l = 2 lzl

Donc je peux réecrire la première inéquation :

lZl + lZ'l < lZ+Z'l + lZ-Z'l

Mais là, je me suis demandé si je pouvais considérer que Z-Z' était l'expression conjugé de Z+Z' et comme lzl = lz*l (avec z* le conjugé de z)

Alors lZ+Z'l = lZ-Z'l
et lZ+Z'l = ( lZ+Z'l + lZ-Z'l )/2

D'après l'inégalité triangulaire, on peut écrire que :

lZ+Z'l < lZl + lZ'l

donc : ( lZ+Z'l + lZ-Z'l )/2 < lZl + lZ'l

Et si on remplace Z et Z' par leur equivalent en z et z' on obtient :

lz+z'l + lz-z'l > 2( lzl + lz'l ) / 2

soit : lz+z'l + lz-z'l > lzl + lz'l

j'arrive a mon résultat, mais je ne suis pas sur des quelques manips que j'ai fait. Donc si qqun pourrait me dire si je suis dans le bon chemin. Et dans le cas contraire, m'indiquer comment faire
Merci d'avance.

[invite96c17354]

** C'est bon, j'ai résolu mon problème.
Je partais sur du n'importe quoi alors qu'il y avait plus simple (en choisissant deux nombres complexe Z et Z' pour lesquels j'applique la première inégalité.