Dénombrements et Probabilités

[invited4d0144b]

Voila j'ai un petit probleme pour résoudre cet exo et j'espere trouver de l'aide ici, merci

Soit p et n deux entiers naturels verifiant 1<p<n.
On considère une urne contenant n boules numérotées de 1 à n.
Dans cette urne, on tire simultanément p boules.

1) Soit k € [1,n]. Déterminer la proba de l'evenement Ak : "tous les numéros tirés sont inférieurs ou égaux à k".

2) Soit k € [1,n]. Déterminer la proba de l'evenement Bk : "le plus grand numéro tiré est égal à k".

3) Prouver finalement l'egalité : SOMME {(p-1) parmi (k-1)}, pour k allant de p à n = {p parmi n}

Merci d'avance de votre aide...
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[invited4d0144b]

Ben en fait j'ai déja commencé et pour trouver Ak,j'ai identifié 3 cas:
- 1<k<p<n: Card Ak=ensemble vide donc p(Ak)=0
- 1<k=p<n: Card Ak=1 (puisqu'on tire p boules de 1 à k) donc p(Ak)=1/(p parmi n); (p parmi n étant Card de l'univers)
- 1<p<k<n: la je sèche car j'ignore si p(Ak)=(p parmi k)/(p parmi n)

Voila pour la premiere question je n'avance pas plus...
Si quelqu'un peut me donner quelques conseils, cela me permettrait surtout de répondre à la question 3 étant donné que je ne voit pas le rapport entre les 2 premières question et la somme de la 3)

Merci de me renseigner svp.

[invited4d0144b]

J'aurais voulu savoir également si il était possible que la somme que je cherche dans la 3) pourrait etre egal a Somme de (Ak+Bk).

Ainsi, d'après la relation de pascal:
(p parmi n)=(p-1 parmi n-1)+(p parmi n-1)

cela voudrait t-il dire que Somme de (k-1 parmi n-1) = (p-1 parmi n-1)+(p parmi n-1)

Svp aidez moi car j'essaie desepéremment de trouver des réponses et malgré les 2 Madère (bouquins de maths pour prepa HEC), j'arrive à rien...

[invite467f789a]

Bonjour Itachiki ,
voilà j'ai cherché un peu ton problème et voici ce que j'en pense :
Pose X la variable aléatoire qui est définie par :
X= " plus grand des numéros apparus sur les p boules "

alors Ak = P(X< (ou égal) à k) et Bk= P(X=k)

Remarques : il s'agit maintenant de trouver la loi de proba de X...

Il vient : P(X=k) = [(p-1) parmi (k-1)] / [(p parmi n)] car (X=k) signifie il faut tirer parmi les k-1 boules , p-1 boules et tirer la boule de numéro k ( 1 parmi 1 )

pour la question 3) il est alors évident de voir :

Somme ( k=p à k=n ; [p-1 parmi k-1] / [p parmi n] ) = Somme ( k=p à k=n ; P(X=k) ) = 1
on retrouve alors l'égalité demandée...

Voilà j'espère que ma rédaction est clair car je dois dire que ce n'est pas simple de faire des probas sur ce site
Bon courage !

Daffy.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited4d0144b]

Merci daffy pour ton raisonnement il est vraie que faire intervenir une varible aléatoire X est intéressant dans ce cas...
Cependant,mon cours sur les variables aléatoires dans un espace probabilisé fini n'en ai qu'à son commencement et je voudrais juste savoir si il été possible d'exprimer Ak = P(X< (ou égal) à k) sous forme d'un ensemble de combinaisons faisant intervenir le dénombrment...

Merci pour l'aide que tu m'apporte egalement à la question 3) car j'avais pensé utiliser la relation de pascal itéré mais pas la propriété de: Somme ( k=p à k=n ; P(X=k) ) = 1 et ainsi (p parmi n) parait plus efficace et épargne une trop longue démo!

Si tu trouve le temps, et si cela ne t'embête pas, j'ai également quelque difficultés pour un exercice(cela vient en partie de la formulation et de la nature de l'enoncé):

Une compagnie aérienne étudie la réservation sur l'un de ses vols. Une place donnée est libre le jour d'ouverture de la réservation et son état évolue chaque jour jusqu'à la fermeture de la réservation de la manière suivante: si la place est réservée le jour k, elle le sera encore le jour k+1 avec la probabilité 9/10. Si la place est libre le jour k, elle sera réservée le jour k+1 avec la probabilité 4/10.

Pour k entier positif, on note r(k) la proba que la place soit réservée le jour k. On suppose que r(0)=0.

1) Exprimer r(k+1) en fonction de r(k).

2) En déduire l'expression explicite de r(k) en fonction de k et calculer lim(r(n))=r quand n tend vers + l'infini.

Le problème est que je pensait raisonner avec une récurrence dans la 1ere question mais que je ne parvient pas à la pousser au bout donc cela me semble compromi.
De fait la question 2) m'est impossible ,mais surtout je n'ai encore jamais fait de limite de proba et j'ignore si 0<r<1 , r(n) en + l'infini aurait un comportement semblable à une suite connue ou bien pourrait etre identifié par une variable aléatoire...

ah oui, dois-je donner l'expression générale de r(k) dans la 1) car "expression explicite" m'est vraiment explicite!!! lol

De toute facon daffy tu m'as aidé plus que généreusement et je comprend désormais le lien entre variable aléatoire et dénombrment (ce qui était dur notamment pour la somme finale).

Merci à toi et bonne continuation daffy!!

[invited4d0144b]

Bonjour à tous...

Comme dit précédemment, j'ai assez gros problème pour exprimer P(X<=k) sous la forme d'un dénombrement.

De plus,en ce qui concerne l'exercice avec r(k), que pensez de l'utilisation d'une récurrence?
La formule peux se vérifier pour n=0 mais que l'exprimer au rang k, puis au rang k+1 est assez délicat? Ne suis-je pas dasn l'erreur en ce qui concerne cette récurrence? Est-il possible de trouver les relations de manière différente?

Je vous serez reconnaissant de me donner des conseils pour pouvoir déterminer l'expression "explicite" de r(k+1).

Sur ce, je vous souhaite une bonne continuation. A+

[invite467f789a]

Bonjour Itachiki !

Désolé pour ma réponse tardive..
Voilà j'ai une idée pour toi pour la question 1)

l'univers peut etre ici partitionné en deux ensembles : "place réservée" et place non réservée (= libre )
Ensuite je note :
Rk=l'évenement " place réservé le jour k" ( P(Rk)=r(k) d'après énoncé )
R_k = l'évenement complémentaire " place libre le jour k"

Ansi par définition des probas conditionnelles:
P(Rk+1/Rk)=P(Rk inter Rk+1) / P(Rk)=9/10 = proba place réservé le jour k+1 sachant place réservé le jour k

et P(Rk+1/R_k)= P(Rk+1 inter R_k) / P(R_k) =4/10 devine la traduction

Mon raisonnement s'apuie ensuite sur la formule des probas totale :
Rk+1= ( Rk+1 inter Rk)U( Rk+1 inter R_k)
Rk+1= 9/10 r(k) + 4/10 ( 1-r(k))
Rk+1= 1/10 [ 5r(k)+4 ] cqfd !

Voilà ce que je pense pour la question 1) à toi de voir...
Je me penche sur les questions suivantes ...@+

Daffymaths

[invite467f789a]

re-bonjour itachiki
Voilà j'ai la réponse à la question 2)
Il te manquait juste la réponse à la question 1) puis un petit truc...

QUESTION :
2) En déduire l'expression explicite de r(k) en fonction de k et calculer lim(r(n))=r quand n tend vers + l'infini.

Réponses :
on a : r(k+1)=r(k)/2 + 4/10

Si r(k) admet une limite alors notons là : r
Ansi en passant à la limite dans l'égalité ci-dessus ,on a :

r=r/2 + 4/10 car si r(k) --> r alors r(k+1) --> r aussi

on résout et on obtient r=0,8
Ensuite on pose v(k) la suite définie par : v(k)=r(k) - r = r(k)-0,8
Démontrons alors que la suite v(k) est géométrique...

je te laisse le soin de cette démo (indic:calcul le rapport v(k+1)/v(k))

Ensuite j'espère que tu sais que tu peux exprimer le terme v(n) en fonction de n lorsqu'il s'agit d'une suite géométrique
Il ne te reste alors plus qu'a revenir à la déf de v(n) : v(n)=r(n)-r
En remplacant v(n) en fonction de n tu obtiens r(n) en fonction de n

Et pour finir le passage à la limite... n--> inf..
bon courage
et attention à ta rédaction...

@+
Daffy maths