Application ni ouverte ni fermée

[invite9bf5e42d]

Bonjour,
j'aimerais montrer que f(x) = x si x appartient à Q 0 sinon n'est pas ouverte ni fermée.

J'ai essayé de calculer f([0,1]) et j'obtient {0} U réunion des {xi} avec xi rationnel dans [0,1]
mais je la réunion infinie de fermé n'est pas forcément fermé.

Pouvez-vous m'aider ?

Merci et bonne journée
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[invitec317278e]

Salut,

tu peux par exemple montrer que ton ensemble n'est pas fermé en utilisant la caractérisation séquentielle d'un fermé : trouve une suite convergente dans R à valeurs dans ton ensemble, qui ne converge pas dans ton ensemble.
On peut aussi se demande quelle est l'adhérence de ton ensemble ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

La fonction f est à valeurs dans Q. Si f(A) contient au moins deux rationnels distincts, c'est une partie de R qui n'est ni ouverte, ni fermée.