demonstrations propositions spécifiques

[invited3a75eab]

Bonsoir,
j'ai lu sur une feuille deux problème qui me pose problème...
ces problème sont des propositions dont on me demande de prouver l'exactitude ou si c'est faux:
1)si f est une fonction définie sur R telle que |f(x)-f(y)|<=sin²(x-y) pour tout x et y de R alors f est constante sur R
pour ce problème j'ai essayer plusieurs chose comme essayer de faire apparaitre la dérivée de f et de déterminer si elle pouvait on non être nul,j'ai essayé le théorème des accroissement fini en divisant par (x-y), je me suis dit que sin²(x-y)<=1 mais ça ne sert finalement à rien...

2)
si -1<a<0<b<1 et M>0
alors |(a^3) - (b^3)|< M|x-y|²
là pareil j'ai essayer de faire une division par x-y pour utiliser l'accroissement fini mais c'est pareil que pour le 1 je n'arrive pas à déterminer si la proposition est vrai ou fausse.

Pourriez vous m'aidez avec un petit indice?

merci d'avance
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[invite57a1e779]

1)j'ai essayer plusieurs chose comme essayer de faire apparaitre la dérivée de f

Pourtant, en écrivant , on prouve facilement que est dérivable de dérivée nulle.

2) si -1<a<0<b<1 et M>0 alors |(a^3) - (b^3)|< M|x-y|²

Qui sont x et y ?

[NicoEnac]

Bonjour,

Pour la 1), pour un x dans R, que peux-tu affirmer pour tous les y = x + k.Pi, k € Z ?

Edit : cela prouve uniquement que f est Pi-périodique. Pas très utile ici...

[invited3a75eab]

merci a vous deux pour vos précieuses réponses.

Qui sont x et y ?

La preuve que je me suis embrouillé avec le 1(où je n'avait pas pensé a faire la limite pour h qui tend vers 0...).
en faite :
x=a et y=b

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited3a75eab]

je vais essayé de trouver une fonction pour le 2 par laquel je vais essayer de déterminer si il y a une asymptote horizontale d'équation y=M ça donnera peut etre quelque chose je vais y réfléchir de toute façon je continue à chercher.