Bonjour j'ai un soucis avec 2 questions de mon exercice. Voilà l'énocé:
On effectue une succession infinie de lancers indépendants d'une pièce équilibrée, c'est a dire donnant pile avec la probabilité p=1/2.
On va s'intéresser dans ce problème aux successions de lancers amenant un même coté.
On note Nn le nombre de séries lors des n premiers lancers :
La première série est donc de longueur k < n si les k premiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le (k + 1)ème l'autre côté et de longueur n si les n premiers lancers ont
amené le même côté de la pièce ;
La dernière série se termine nécessairement au nème lancer.
Par exemple, si les lancers successifs donnent : FFPPPPFFPPP. . .(F désignant Face et P Pile),
on a pour une telle succession w dans Ω,
N1(w) = N2(w) = 1; N3(w) =....= N6(w) = 2;
N7(w) = N8(w) = 3; N9(w) =....= N11(w) = 4;
les données précédentes ne permettant évidemment pas de déterminer N12(w).
On admettra que Nn est une variable aléatoire sur (Ω;A; P).
1. Déterminer les lois de N1, N2 et N3 et donner leurs espérances.
je trouve pour la loi de N1: N1(Ω)={1} et P(N1=1)=1 et E(N1)=1
pour la loi de N2: N2(Ω)={1,2} P(N2=1)=P(N2=2)=1/2 et E(N2)=3/2
pour la loi de N3: N3(Ω)={1,2,3} P(N3=1)=P(N3=3)=1/4 et P(N3=2)=1/2 et E(N3)=2
2. Pour tout n dans N∗, déterminer Nn(Ω), puis calculer P(Nn = 1) et P(Nn = n).
je trouve Nn(Ω)= [[1,n]]
P(Nn=1)=(1/2)^(n-1)=P(Nn=n)
3. Établir, pour tout n > 1 et tout k dans [[1; n]], l'égalité
P(Nn = k) = 1/2*P(N(n−1) = k) + 1/2P(N(n−1) = k - 1)
je n'arrive pas a établir cette relation.
4. Soit n dans N*. Identifier la loi de la variable aléatoire Mn définie par Mn=(Nn)-1
TRouver ainsi l'esprance et la variance de Nn
je n'arrive pas non plus cette question
Merci de votre aide
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