Plan tangent à une sphère

[ailita94]

Bonjour,
J'ai mon exam demain et en parcourant des exercices, je suis tombée sur un exo d'un ancien exam où on demande :
Trouvez les points de la surface x²+y²+z²=36 où les plans tangents sont // au plan 3x+4y+5z=0
Donner les équations des plans tangents et de la droite normale aux points trouvés.

J'ai trouvé les points
x= ± 9*2^1/2/5
y= ± 12*2^1/2/5
z= ± 3*2^1/2

Et dans le cours on a fait que des exemples et exercices où on nous demande un plan tangent à un plan qui s'écrit z=f(x;y) je ne sais pas comment m'y prendre pour la sphère une explication serait la bienvenue vue que c'est une question qui revient beaucoup.
Merci !
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[Jedoniuor]

Bonjour,
Soit un point et R>0, on note S la sphère de centre C et rayon R, qui a donc pour équation



Soit un point de S. Vous savez certainement que dire que le point M de coordonnées appartient au plan tangent en M_0 à la sphère S est équivalent à dire que les vecteurs et sont orthogonaux. Vous faites donc le produit scalaire de ces deux vecteurs, qui vous donne l'équation



ou encore en arrangeant un peu et en tenant compte que M_0 est sur S:



Dans votre cas particulier, a=b=c=0 et R=6 donc:



Il vous reste à remplacer par les valeurs trouvées.

Cordialement.

[ailita94]

D'accord merci beaucoup !
Et on suit le même raisonnement pour une ellipsoïde ou autre !
J'aurais une autre question qui ne concerne pas cet exercice mais toujours relative aux plans tangents.
J'ai vu dans un exercice que l'on demandait de trouver les points où le plan tangent était vertical.
Je ne sais pas trop comment il faudrait que je m'y prenne. Vertical, ça veut dire orthogonal à xoy, est ce qu'il faut que je détermine l'équation du plan tangent à n'importe quel point (a,b,c) puis que je trouve les solutions du produit scalaire d'un vecteur normal au plan tangent et à (1,1,0) ?
Merci !

[Jedoniuor]

Bonsoir,

Vous dites: "Et on suit le même raisonnement pour une ellipsoïde ou autre !".

ATTENTION: Absolument pas; cette propriété d'orthogonalité n'est vraie que pour la sphère. Ne l'appliquez pas pour un ellipsoide.

Pour le cas des plans tangents verticaux, s'il s'agit bien des plans orthogonaux à xoy, ceci revient à dire qu'un vecteur orthogonal à un tel plan est parallèle à xoy. Or pour un plan d'équation ax+by+cz-h=0, a,b,c non tous nuls, un tel vecteur est (a,b,c). Dire qu'un tel vecteur est parallèle à xoy revient à dire qu'il est orthogonal au vecteur (0,0,1), ou encore que c=0.

Dans le cas particulier d'une sphère, pour l'ensemble des points en question dans votre exemple x^2+y^2+z^2-36=0, comme l'équation du plan tangent passant par le point (x_0,y_0,z_0) de S est x_0x+y_0y+z_0z-36=0 , vous cherchez les point M_0 tel que le vecteur (x_0,y_0,z_0) est paralléle à xoy, donc une cns est z_0=0, donc il s'agit des points de la sphère qui sont dans le plan xoy. Faites un dessin pour le voir.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ailita94]

Alors comment s'y prend-on pour le plan tangent à un ellipsoïde ?!
Merci

[Jedoniuor]

Bonsoir,

DE manière générale, si vous avez une équation f(x,y,z)=0 définissant une surface S et un point M_0=(x_0,y_0,z_0) de S,

l'équation du plan tangent en M_0 est



à la condition qu'au moins une des dérivées partielles en M_0 de f est non nulle. Vérifiez que pour une sphère on retrouve les résultats précédents.

Pour un ellipsoide, vous avez une équation de la forme ax^2+by^2+cz^2+d=0 dans les cas simples, et donc le calcul est immédiat.

Mais ceci ne peut vous servir que si cette propriété figure dans votre cours, ce qui ne parait pas \^etre le cas. Cette propriété est aussi équivalente au fait que si le gradient de f en M_0 est non nul, alors l'équation du plan tangent se trouve en écrivant que pour un point M de ce plan, le vecteur est orthogonal au gradient.

Cordialement.

[ailita94]

Merci beaucoup pour toutes tes réponses !
Bonne soirée !