Bonjour à tous!
Voilà pour résoudre un exercice j'aimerai trouver un plan, tangent à une sphère S de centre K = (2;-1;3), de rayon R=1 et qui contient l'axe des abscisses.
-> S = (x-2)² + (y+1)² + (z-3)² = 1
Il a donc 2 plans tangents à S et qui passent par l'axe des abscisses, pouvez-vous me dire comment trouver leurs équations cartésiennes/paramétriques ?
Merci beaucoup!
Soit M(x;y;z) un point de S
P est tangent à S en M signifie que KM.u=0 et KM.OM=0
Traduit avec les coordonnées puis utilise le fait que (x-2)² + (y+1)² + (z-3)² = 1 puisque M appartient à S
KM . u (produit scalaire) = 0 ? Es-tu sûr ? Si justement le plan est perpendiculaire à KM, le vecteur normal (u) est parallèle, non ? :SEnvoyé par hhh86
Je ne vois pas non plus le rapport avec le vecteur OM :S
Désolé, j'ai recopié mon brouillon donc je t'explique :
Soit M(x;y;z) un point de S
P est tangent à S signife que KM est un vecteur normal de P et M appartient à P
Soient O(0;0;0) et I(1;0;0)
O et I sont des points de P puisque l'axe des abscisses appartient à P
Or KM est normal à P <=>KM.OI=0 et KM.OM=0
J'avais appellé le vecteur OI, u
Ah oui ça d'accord
J'vais essayer ça
Je n'arrive pas .. =S
Donc j'ai :
u = OI = (1;0;0)
v = OM = (x;y;z)
n = KM = (x-2;y+1;z-3)
u . n = 0 -> x - 2 = 0 -> x = 2
v . n = 0 -> x² - 2x + y² + y + z² - 3z = 0
-> y² + z² + y - 3z = 0
M appartient à S -> y² + z² + y - 3z = -9
Ensuite je suis bloqué, c'est 2 équations de cercles de même centre et de rayon différent non ? Donc pas d'intersection donc pas de solution ? :S
Encore merci ..
Euh je n'ai rien dit, le premier est un cercle de centre (-0.5 ; 1.5) de R² = 10/4
et le deuxième de centre (-1 ; 3) de R = 1, c'est ça ?
Par contre faut que je me souvienne comment faire une intersection de 2 cercles
bonjour Jo,
il y a peut être plus rapide en passant par la distance d'un point à un plan.
equation d'un plan P : ax+by+cz+d=0
si M(x,y,z) est un point quelconque alors la dist de M à P
d(M,P)=!ax+by+cz+d!/sqrt(a²+b²+c²)
formule générale qu'on peut retrouver en utilisant le vecteur normal au plan
NP ( a,b,c)
ici, trouver les plans tangents à la sphère revient à trouver les plans à distance de 1 du point K.
le plan passant par l'axe des abcisses, on obtient vite
a=0 ( le plan ne depend pas de x )
d=0 ( le plan passe par l'origine )
donc
equation de P : by+cz = 0
distance du centre K à P = 1
!b+3c!/sqrt(b²+c²)=1
(-b+3c)²=b²+c²
b²-6bc+9c²=b²+c²
-6bc+8c²=0 = 2c(4c-3b)
donc
c=0 ou c=(3/4)b
les deux plans sont donc :
y=0
y+(3/4)z=0
C'est une vision assez intéressante
j'adore l'ironie sous jacente , monsieur hhh !
mais si vous avez encore plus court je suis preneur !
non il n'y avait aucune ironie
