[Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère
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[Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère



  1. #1
    invitec897008b

    [Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère


    ------

    Bonjour à tous!

    Voilà pour résoudre un exercice j'aimerai trouver un plan, tangent à une sphère S de centre K = (2;-1;3), de rayon R=1 et qui contient l'axe des abscisses.

    -> S = (x-2)² + (y+1)² + (z-3)² = 1

    Il a donc 2 plans tangents à S et qui passent par l'axe des abscisses, pouvez-vous me dire comment trouver leurs équations cartésiennes/paramétriques ?

    Merci beaucoup!

    -----

  2. #2
    hhh86

    Re : [Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère

    Soit M(x;y;z) un point de S
    P est tangent à S en M signifie que KM.u=0 et KM.OM=0
    Traduit avec les coordonnées puis utilise le fait que (x-2)² + (y+1)² + (z-3)² = 1 puisque M appartient à S
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  3. #3
    invitec897008b

    Re : [Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    Soit M(x;y;z) un point de S
    P est tangent à S en M signifie que KM.u=0 et KM.OM=0
    Traduit avec les coordonnées puis utilise le fait que (x-2)² + (y+1)² + (z-3)² = 1 puisque M appartient à S
    KM . u (produit scalaire) = 0 ? Es-tu sûr ? Si justement le plan est perpendiculaire à KM, le vecteur normal (u) est parallèle, non ? :S
    Je ne vois pas non plus le rapport avec le vecteur OM :S

  4. #4
    hhh86

    Re : [Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère

    Désolé, j'ai recopié mon brouillon donc je t'explique :

    Soit M(x;y;z) un point de S
    P est tangent à S signife que KM est un vecteur normal de P et M appartient à P
    Soient O(0;0;0) et I(1;0;0)
    O et I sont des points de P puisque l'axe des abscisses appartient à P
    Or KM est normal à P <=>KM.OI=0 et KM.OM=0
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    hhh86

    Re : [Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère

    J'avais appellé le vecteur OI, u
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  7. #6
    invitec897008b

    Re : [Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère

    Ah oui ça d'accord
    J'vais essayer ça

  8. #7
    invitec897008b

    Re : [Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère

    Je n'arrive pas .. =S
    Donc j'ai :
    u = OI = (1;0;0)
    v = OM = (x;y;z)
    n = KM = (x-2;y+1;z-3)

    u . n = 0 -> x - 2 = 0 -> x = 2
    v . n = 0 -> x² - 2x + y² + y + z² - 3z = 0
    -> y² + z² + y - 3z = 0

    M appartient à S -> y² + z² + y - 3z = -9

    Ensuite je suis bloqué, c'est 2 équations de cercles de même centre et de rayon différent non ? Donc pas d'intersection donc pas de solution ? :S

    Encore merci ..

  9. #8
    invitec897008b

    Re : [Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère

    Euh je n'ai rien dit, le premier est un cercle de centre (-0.5 ; 1.5) de R² = 10/4
    et le deuxième de centre (-1 ; 3) de R = 1, c'est ça ?
    Par contre faut que je me souvienne comment faire une intersection de 2 cercles

  10. #9
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : [Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère

    bonjour Jo,
    il y a peut être plus rapide en passant par la distance d'un point à un plan.
    equation d'un plan P : ax+by+cz+d=0
    si M(x,y,z) est un point quelconque alors la dist de M à P
    d(M,P)=!ax+by+cz+d!/sqrt(a²+b²+c²)

    formule générale qu'on peut retrouver en utilisant le vecteur normal au plan
    NP ( a,b,c)

    ici, trouver les plans tangents à la sphère revient à trouver les plans à distance de 1 du point K.

    le plan passant par l'axe des abcisses, on obtient vite
    a=0 ( le plan ne depend pas de x )
    d=0 ( le plan passe par l'origine )

    donc
    equation de P : by+cz = 0
    distance du centre K à P = 1
    !b+3c!/sqrt(b²+c²)=1
    (-b+3c)²=b²+c²
    b²-6bc+9c²=b²+c²
    -6bc+8c²=0 = 2c(4c-3b)
    donc
    c=0 ou c=(3/4)b

    les deux plans sont donc :
    y=0
    y+(3/4)z=0

  11. #10
    hhh86

    Re : [Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    bonjour Jo,
    il y a peut être plus rapide en passant par la distance d'un point à un plan.
    C'est une vision assez intéressante
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  12. #11
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : [Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    C'est une vision assez intéressante
    j'adore l'ironie sous jacente , monsieur hhh !
    mais si vous avez encore plus court je suis preneur !

  13. #12
    hhh86

    Re : [Géométrie] Trouver un plan tangent à une sphère

    non il n'y avait aucune ironie
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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