problèmes complexes !!

[inviteb900ac8a]

voili voilou !! j'ai un petit devoir et je n'ai pas réussi a resoudre certaines questions en fait.
Les questions sont indépendantes les unes des autres, c'est un petit qcm en fait :
les barres verticales I .... I correspondent à "module"

1) dans le plan complexe, l'ensemble des points M d'affixe z=x+iy vérifiant I z-1 I = I z+i I est la droite d'équation :
a) y=x-1
b) y=-x
c) y=-x+1
d) y=x
moi j'ai mis réponse b) mais je ne sais pas comment raisonner car j'ai essayé pas mal de calculs sans résultats

2) soit n un entier naturel. Le nombre (1+i√3)ⁿ est réel ssi n s'écrit sous la forme :
a) 3k+1
b) 3k+2
c) 3k
d) 6k
(avec k entier naturel)
la je ne comprends rien du tout du tout ...

3) soit l'équation (E) : z= (6-z) / (3-z) (z appartient à C). Une solution de (E) est :
a) -2- i√2
b) 2+i√ 2
c) 1-i
d) -1-i
la j'ai mis l'équation sous la forme a^z+bz+c=0 puis je l'ai résolu comme une équation du second degré mais mes résultats ne s'y trouvent pas ...

4) dans le plan complexe, l'ensemble des points d'affixe z=x+yi vérifiant la relation arg ( (z+2) / (z-2i) ) = pi /2 est inclus dans :
a) la droite d'équation y=-x
b) le cercle de centre I(1+i) et de rayon R=√2
c) la droite d'équation y=x
d) le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d'affixes respectives : zA=-2 et zB=2i
ma réponse :
cos pi/2 = 0 et sin pi/2 = 1 d'ou (z+2) / ( z-2i) = 1
d'ou z+2 = z-2i
soit A(-2) et B(2i)
M appartient à E1 équivaut à : I z+2 I = I z-2i I
MA = MB
M sur la médiatrice de [AB] ???



merci beaucoup pour votre aide !!
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[invite9617f995]

Voici quelques indices :

1) Remplace z par x+iy dans |z-1| = |z+i| ; puis utilise la formule donnant le module d'un nombre complexe. Tu devrais trouver une relation entre x et y.

2) Voici les trois éléments dont tu as besoin pour cette question :
a) quel est l'argument de 1+i√3 ?
b) quelle relation relie l'argument de z et celui de zⁿ ?
c) quel argument peut avoir un nombre réel ?

3) J'ai fais le calcul, je trouve bien une solution est bien parmi les quatre proposées, vérifies

4) Je me trompe peut-être mais je pense que tu devrais vérifier tes définitions et propriétés sur les arguments car tout ça ne me semble pas juste.
Après la solution dépend aussi de ce que vous avez appris, mais je pense que tu devrais remplacer z par x+iy, puis transformer le quotient (z+2)/(z-2i) en un nombre complexe de la forme a+ib.
Ensuite, à toi de voir ce que signifie un argument de pi/2

[invite70b6ef65]

Pour la 4, j'utiliserais plutôt cette propriété de l'argument :


Et ensuite un petit théorème qui met en jeu un cercle, un diamètre, et un triangle rectangle.

[invite9617f995]

Oulà oui, c'est bien sur ce que propose nono212 qui est le plus simple et le plus élégant. Y a juste à se rappeler ce qu'est un angle de pi/2
Je suis tellement habitué à faire de l'analyse complexe que j'en oublie que la géométrie est parfois plus directe, et surtout je l'avoues j'avais oublié la formule avec l'angle entre les vecteurs, shame on me ...

PS pour zazakim : rien de bien important mais, "Alt Gr + 6" fait des barres de modules

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb900ac8a]

merci beaucoup a vous deux pour votre aide !!!
ca m'a pas mal aidé :

1) j'ai réussi à la résoudre et ma réponse est donc bien la b) y= -x
en remplaçant z par x+yi on se retrouve à la fin avec : -2x+1=2y+1

2) j'ai fait comme tu m'as dit silk78, et j'ai trouvé que l'arg 1+i√3 = pi/3
et donc arg(1+i√3)ⁿ= 2ne^inpi/3
mais je ne vois pas ou ça nous mène ...
un nombre réel peut avoir comme argument 0 ou pi non ??
comment faire apparaitre le k ??

3) la j'ai redéveloppé tout en essayant de mettre sous la forme a+bi mais je me retrouve avec un cube ou alors avec un quotient de z² je ne sais pas comment procéder autrement ...pourrais-tu me donner plus d'indications ??

4) arg pi/2= i
si j'utilise la méthode de nono212 j'ai :
arg ( (z+2)/(z-2i) ) = arg ( (z-(-2))/(z-2i) )
avec Zc = z
Za = -2
Zb= 2i
d'ou la propiété de l'argument :
arg ( ( Zc - Za) / (Zc-Zb) ) = (BC ; AC) (en vecteurs bien sur
ce qui forme un angle droit car = pi/2
mais la je bloque ...


merci encore !!!

[invite70b6ef65]

Pour la 2, d'abord calcules l'argument de 1+i√3, ensuite appliques la propriété avec la puissance, et tu dois tomber sur un nombre uniquement en fonction de pi/3 et de n.

Pour la 3, utilise le produit en croix.

Pour la 4, vaut mieux utiliser M(z) à la place de C(z) (le cours revient mieux dans ce sens ).
Après il faut se demander : que décrit l'ensemble des points M si AMB forme un angle droit ? C'est une propriété, pense triangle !

[invite9617f995]

Alors ...

2) "arg(1+i√3)ⁿ= 2ⁿe^inpi/3" c'est faux, en fait c'est tout simplement (1+i√3)ⁿ qui vaut 2ⁿe[EXP]inpi/3. Peut-être devrais tu revoir ta définition d'argument.
Par exemple, si on a , quel est l'argument de z. Et dans ce cas quel est l'argument de (1+i√3)ⁿ=2ⁿe[EXP]inpi/3 ?
Après comme tu l'as dis, un nombre réel a un argument égal à 0 ou à pi. A toi de conclure.

3) Si tu ne trouves toujours pas, mets tes calculs sur le forum (essaye de les mettre en LaTeX si tu peux, ce serait plus clair), on vérifiera.

4) "arg pi/2= i" est faux. Par contre Arg i = pi/2 mais ce n'est pas tellement important ici, utilise la méthode de nono, je posterais peut-être ce à quoi je pensais après
Ce que tu as fait jusque là est juste, tu cherche donc l'ensemble des points M tels que (BM ; AM) soit un angle droit. Comme l'as dit nono, il existe une figure géométrique très simple qui vérifie cette condition. Si tu ne vois vraiment pas, essaye peut-être de faire une figure ou tu place A et B et où tu crées quelques points M tels que AMB soit rectangle en M.


Edit : arff, je mets trop de temps à faire mes messages, nono est passé avant moi ^^

[invite70b6ef65]

Edit : arff, je mets trop de temps à faire mes messages, nono est passé avant moi ^^

11 minutes
C'est toujours mieux une chose expliquée par deux personnes différentes.

[invite9617f995]

11 minutes

Je suis très lent
(et puis je fais plein de chose à la fois ^^)

Enfin bref, t'as raison, deux explications valent mieux qu'une (y a plus qu'à attendre pour voir si ça va payer ^^)

[inviteb900ac8a]

je crois que ça paye !! lol
en effet je crois avoir trouvé quelques réponses :

2) j'ai trouvé 3k c'est ça ??

3) j'ai trouvé 2+i√ 2 c'est bon ??

et puis laissez moi juste un petit peu de temps pour la dernière

merci encore !!

[invite9617f995]

Oui pour les deux