[Olympiades] Mystérieux point ...

[invite80f7050f]

Bonjour !

Je sèche totalement sur l'exercice suivant, j'ai à --peu près-- tout tenté :

C1 et C2 sont deux cercles sécants en A et B.
Les points M1 et M2 parcourent respectivement, dans le même sens, les cercles C1 et C2 chacun avec une vitesse angulaire constante.
A chaque tour les points M1 et M2 passent simultanément au point A.

Démontrer qu'il existe un point fixe qui est constamment équidistant de M1 et M2.

J'ai fait 2-3 recherches :
->faut-il se servir de la puissance d'un point par rapport à un cercle et/ou de l'axe radical ?
->si oui comment ?
(Je suis en T° et mes connaissances sur ces propriétés sont assez limitées...)

Quelqu'un a-t-il une solution?

Merci beaucoup.
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[invite25cbd5d2]

Bonsoir

Les points M1 et M2 parcourent respectivement, dans le même sens, les cercles C1 et C2 chacun avec une vitesse angulaire constante.
A chaque tour les points M1 et M2 passent simultanément au point A.

Donc ils ont même vitesse angulaire ?

[invitea3eb043e]

Ils ont même vitesse angulaire puisqu'ils font un tour dans le même temps.
Pour répondre à la question, il est intéressant de compléter la figure en ajoutant le cercle de centre O1 et de rayon R2 et le cercle de centre O2 et de rayon R1. En effet, une figure soignée montre que le point fixe est à l'intersection de ces cercles.
Pour le montrer, on remarque que la figure est symétrique ; appelons A' le symétrique de A (donc une des intersections).
Un raisonnement assez simple sur une figure claire montre que les angles A' O1 M1 et A' O2 M2 sont égaux, cela résulte des vitesses angulaires égales. Dès lors, comme les triangles A' O1 M1 et A' O2 M2 ont 2 côtés égaux ( R1 et R2), on voit que A'M1 = A' M2

[invite25cbd5d2]

Ils ont même vitesse angulaire puisqu'ils font un tour dans le même temps.
Pour répondre à la question, il est intéressant de compléter la figure en ajoutant le cercle de centre O1 et de rayon R2 et le cercle de centre O2 et de rayon R1. En effet, une figure soignée montre que le point fixe est à l'intersection de ces cercles.
Pour le montrer, on remarque que la figure est symétrique ; appelons A' le symétrique de A (donc une des intersections).
Un raisonnement assez simple sur une figure claire montre que les angles A' O1 M1 et A' O2 M2 sont égaux, cela résulte des vitesses angulaires égales. Dès lors, comme les triangles A' O1 M1 et A' O2 M2 ont 2 côtés égaux ( R1 et R2), on voit que A'M1 = A' M2

Tres joli !

Mais je suis assez étonné d'un tel raisonnement. Alors dis moi qu'est ce qui t'a poussé a "compléter la figure" de cette manière ? Une intuition ? L'expérience ? Un résultat connu ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Non, j'ai tout simplement tâtonné avec une figure propre, histoire d'identifier le point fixe. On voit bien que ça appelle la symétrie.
Une question annexe, pas posée, semble-t-il mais intéressante serait de démontrer que B, M1 et M2 sont alignés (c'est plus facile).

[invite80f7050f]

Bien joué, ça me semble cohérent.
Merci beaucoup pour cette réponse si rapide !

[Eurole]

Bonsoir.

J'ai dû me faire un dessin pour essayer de comprendre la démonstration de Jean-Paul.

Maintenant je suppose les points M1 et M2 à 90° anti-horaire et j'essaye de comprendre l'égalité supposée A'M1 et A'M2

.

[invitea3eb043e]

Il faut regarder les triangles A'O1M1 et A'O2M2 et surtout les angles A'O1M1 et A'O2M2 (les côtés adjacents à ces angles sont les rayons R1 et R2, ils sont égaux.
A'O1M1 = AO1O2 - A'O1O2 + AO1M1
A'O2M2 = A'O2O1 - AO2O1 + AO2M2
En fait, ça consiste à ajouter/enlever les phases à l'origine du mouvement.
Tous ces éléments sont égaux par symétrie ou par hypothèse (AO1M1 = AO2M2)
Donc les angles sont égaux.

[invite25cbd5d2]

Une question annexe, pas posée, semble-t-il mais intéressante serait de démontrer que B, M1 et M2 sont alignés (c'est plus facile).

On démontre que (M1 B M2) =180 grâce au angles inscrits.

Dommage qu'il n'y ait plus de géométrie au lycée.

[invite80f7050f]

Bonsoir,

J'ai une seconde solution à proposer, peut-être moins élégante :

La parallèle menée par A à la droite (O1O2) coupe le cercle C1 en E et le cercle C2 en F.

La droite (M1M2) passe toujours par le point B ; en effet, soit Z l'angle parcouru par les 2 points mobiles. On a alors ABM1=Z/2 et ABM2=pi-Z/2, ce qui indique que B appartient à (M1M2).

Remarquons maintenant que BE et BF sont des diamètres dans les cercles C1 et C2 respectivement. Il s'en suit que BM1E=BM2F=90° et donc que les droites (M1E) et (M2F) sont parallèles. La médiatrice du segment [M1M2] passe donc par le milieu du segment [EF] qui est un point fixe du plan, d'où le résultat.

Qu'en pensez-vous ?

Merci