[TS] Olympiades Ex 1 :

[mimo13]

Bonjour

Voici un exercice d'olympiades que je viens de passer ce matin et je voudrais savoir si ma réponse est juste.

Déterminer tous les carrés parfait qui s'écrivent dans le système de numération à base 9 qu'avec des 1.

Voici ma réponse:
Soit
Posons n fois le chiffre 1.
En "explicitant" l'écriture:


Donc

Ici il est facile de remarque que ne peut être un carré parfait que pour n=1 ce qui donne 1
Donc sa revient a montrer que:

Ici j'ai galèré un peu surtout que le sujet comporte 3 autres exercices mais 5 min avant la fin j'ai eu l'idée suivante:

Soit
Posons et
J'ai dessiner les courbes eten
La j'ai remarqué que les courbes ne se coupent qu'en (1,1)
D'ou la conclusion que 1 est le seul nombre qui vérifie la consigne de l'exercice


Je souhaiterai savoir si ma réponse est correcte et toutes autres réponses seront les bienvenues
Merci
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[invite2220c077]

Salut,

Salut,

Le début est bon. Le reste me le convainc perso' pas ... Voici comment j'aurai procédé :

On veut résoudre dans :



C'est une équation de Pell-Fermat de la forme . Le couple minimal est . On veut donc résoudre :


Je te laisse finir (je n'ai pas fait les calculs, dissert' de philo oblige !)

[mimo13]

Salut,

Salut,

Le début est bon. Le reste me le convainc perso' pas ... Voici comment j'aurai procédé :

On veut résoudre dans :

Merci pour ta réponse Zweig
Pour te dire moi aussi j'en suis arrivé a ce résultat mais je n'est pas su résoudre l'équation.
Je n'ai jamais entendu parlé d'équation de Pell-Fermat mais je vais voir tout de suite.
Merci

[mimo13]

Re,

Je dois avouer que je trouve la méthode de chakravala cité dans l'article de Wikipédia un peu longue surtout qu'il est difficile dans certains cas de trouver le alpha, est ce que quelqu'un peut m'expliquer comment résoudre une telle équation dans le cas ou m=1 de façon plus simple ?

D'autres part j'avoue que le choix de l'application phi est très ingénieux car ça nous donne des propriétés très utiles vu que c'est un automorphisme et une application involutive mais je dois dire que j'ai trouvé plus théorique mais bon....

[A voir en vidéo sur Futura]

[mimo13]

Le couple minimal est donc résoudre :

mais....et

[mimo13]

Salut
Je suis tomber sur un pdf de 10 pages concernant la résolution d'équation de Pell-Fermat, c'est simple et très intéressant j'ai trouvé les réponses à toutes mes questions y compris celle concernant la solution triviale (1,0)
L'utilisation du développement en fractions continues est bien meilleur que la méthode de Chakravala (j'aime pas ce nom...)

Ma question est, est-ce qu'il existe une autre façon de résoudre l'exercice parce que cette équation ne figure pas en programme TS ??

P.S: je peux poster le PDF si quelqu'un le désire

[mx6]

Hey,

Voici une solution niveau TS : (je suis intéressé par ton pdf Pell-Fermat)

Alors, on arrive à ce point :

Si , il est clair que la fonction est strictement croissante.

Mais encore pour , on a .

Donc une solution existe pour . De plus, on s'interesse à des solutions dans .

Verifions pour , On trouve bien 0.

Réciproquement, si , alors .

CQFD

[invite2220c077]

Mimo13 > Je parlais d'une solution minimale non triviale, càd lorsque l'une des variable est non nulle ....

mx6 > Pourquoi tu résous ? C'est que l'on cherche à résoudre. Pour expliciter la méthode d'une manière simple.

On cherche à résoudre dans , avec un entier naturel fixé non carré parfait. Soit le couple minimal non trivial solution de notre équation. Pour trouver ce couple, soit on tâtonne, soit on utilise le développement en fractions continues ... Dans notre cas, il est facile de voir que (3, 1) est le couple minimal.
On pose . Alors l'équation admet une infinité de solutions qui sont données par les relations suivantes :





Le binôme de Newton nous assure que ces nombres sont bien entiers.

Dans notre cas, , on est donc amené à résoudre :

[invite2220c077]

Je reprends et termine ma solution.

On veut résoudre dans :



C'est une équation de Pell-Fermat de la forme . Le couple minimal non trivial est . En appliquant la théorie relative à ce type d'équation, on est ramené à résoudre :



On pose



Remarque que la suite vérifie la relation de récurrence suivante :



On recherche donc tous les naturels et tels que . Les deux couples triviaux sont (0,0) et (1,1). Supposons maintenant . Une condition nécessaire dans la recherche de est que .
On remarque que est périodique de période 12 modulo 9. Plus précisément, nous avons les restes suivants :
Or on montre aussi que est périodique de période 12 modulo 11. Plus précisément, nous avons les restes suivants :

Ainsi, pour un entier tel que , on a aussi , ce qui montre que ne peut être une puissance de 3 pour .

[invite2220c077]

Ma question est, est-ce qu'il existe une autre façon de résoudre l'exercice parce que cette équation ne figure pas en programme TS ??

Je doute fortement qu'il existe une solution qui colle au programme de Terminale S des classes françaises ... Si elle existe, j'aimerai bien la voir en tout cas. Cet exercice ne ressemble pas aux exercices des olympiades françaises ... Où habites-tu ? Sache tout de même que les équations de Pell-Fermat se retrouvent très souvent dans les exercices des olympiades (internationales).

[invite2220c077]

Alors, convaincu ou non ?

[mimo13]

Alors, convaincu ou non ?

Salut
Absolument, Rien à dire l'idée est très bonne et c'est tout a fait correct bravo
Pour te dire j'habite à Nantes et je trouve aussi que ces olympiades ne sont pas niveau TS mais bon je verrais avec mon prof qui m'a déjà affirmé l'existence d'une méthode TS.
Merci pour la réponse
Cordialement.

[invite2220c077]

N'hésite pas à la poster alors ! Mais quelle olympiade as-tu passé ?