racine rationnelle d'un polynôme de Q[X]

[invited7e4cd6b]

Bonsoir F.S.,

On souhaite montrer que si est racine complexe d'un polynome P de avec une multiplicité superieure a alors elle est forcement rationnelle.

J'ai pu montrer qu'elle est réelle. Mais je n'ai pas su aller plus loin.

Merci d'avance.
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[invitef3414c56]

Bonsoir,

Faites une factorisation de votre polyn\^ome P comme produit de facteurs irréductibles sur Q, sous la forme avec c constante non nulle, les P_k irréductibles distincts à coefficients rationnels (et donc premiers entre eux). Votre racine a est racine d'un et d'un seul de ces polyn\^omes, on peut supposer que c'est P_1. La multiplicité de a comme racine de P_1 est 1, puisque P_1 est irréductible, donc la multiplicité de a comme racine de P est n_1, qui est donc strictement supérieur à la moitié du degré de P. Si P_1 est de degré au moins deux, le degré de P_1^{n_1} est donc strictement supérieur au degré de P, ce qui est absurde. Donc le degré de P_1 est 1, et sa racine a est dans Q.

Cordialement.

Cordialement.

[invited7e4cd6b]

Merci, c'est bien ca.