racine rationnelle d'un polynôme

[invitea06097b6]

Bonjour à tous !

Je rencontre un problème pour démontrer par l'absurde la relation suivante:

Soit p/q avec p et q premiers entre eux , une racine du polynôme P=X^3-X²-2X+1, il faut que je montre que p/q n'est pas rationnelle.
Je veux donc utiliser un raisonnement par l'abusrde mais je ne sais pas très bien quelles doivent être les étapes de mon raisonnement .

Merci d'avance.
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[God's Breath]

Soit p/q avec p et q premiers entre eux , une racine du polynôme P=X^3-X2-2X+1, il faut que je montre que p/q n'est pas rationnelle.

Il est effectivement impossible de montrer que le quotient de deux entiers, premiers entre eux ou non d'ailleurs, n'est pas un rationnel.

[invitea06097b6]

Il m'est donc possible d'utiliser un raisonnement par l'absurde en disant que p/q appartient à Q ???

[erff]

Suppose que p et q sont premiers entre eux :

En injectant dans l'équation, et en multipliant par q^3 :



Maintenant essaie de raisonner sur les parités de p et q...conclusion ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea06097b6]

je ne vois pas pourquoi je peux alors raisonner par le biais des parités.désolé...

[invite1237a629]

Salut,

Regarde les différents cas :
p impair, q impair
p pair, q impair
p impair, q pair

pas de p pair et q pair, sinon ils ne seraient pas premiers entre eux (propriété de la fraction irréductible).

Ensuite :
carré d'un nombre impair est impair
carré d'un nombre pair est pair
produit d'un nombre pair avec un nombre impair ou pair est pair
produit de deux impairs est impair
somme/différence de deux impairs est paire
somme/différence de deux pairs est paire
somme/différence d'un pair et d'un impair est impaire
0 est considéré comme un nombre pair, puisque divisible par 2.

Pfou, je crois qu'il y a tout

[Médiat]

je ne vois pas pourquoi je peux alors raisonner par le biais des parités.désolé...

La suggestion de erff fonctionne très bien : si tu supposes p pair, que peux-tu dire de q ? Est-ce compatible avec l'hypothèse ?

Si les deux sont impairs, il y a un truc bizarre qui de passe à cause du terme 2pq² ...

Troisième cas ...

Grillé par une Molette (c'est l'âge, tu penses un nombre undécagonal )...

[Jeanpaul]

Suppose que p et q sont premiers entre eux :

En injectant dans l'équation, et en multipliant par q^3 :



Maintenant essaie de raisonner sur les parités de p et q...conclusion ?

Y'a pas à dire, c'est futé. Heureusement que c'est 2 x et pas 3 x.

[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Je me mêle peut-être de ce qui ne me regarde pas, mais je crois que God's Breath a bien vu... Si p et q sont entiers, premiers entre eux ou pas, alors p/q est rationnel par définition.

Mais je suppose que le but de la manip' est de montrer que ledit polynôme n'a pas de racines rationnelles. Alors là oui, les autres raisonnements proposés s'appliquent.

-- françois

[invite35452583]

Y'a pas à dire, c'est futé. Heureusement que c'est 2 x et pas 3 x.

Même pas, p ou q multiple de 3-> c'est congru à p³ ou q³, il faut que p et q soient un multiple de 3 (contradiction avec l'irréductabilité)
Ni p, ni q multiple de 3 alors on a p²,q² congru à 1, p3 congru à p q3 congru à q, d'où modulo 3 c'est égal à p-q-2p+q=-p donc c'est non congru à 0 moudlo 3.
x³-x²-3x+1 n'a pas non plus de racine rationnelle.
C'est une méthode classique (bien que ne fonctionnant pas pour tous les polynômes).

[God's Breath]

Je me mêle peut-être de ce qui ne me regarde pas, mais je crois que God's Breath a bien vu... Si p et q sont entiers, premiers entre eux ou pas, alors p/q est rationnel par définition.

Oui, on aura beaucoup de peine à montrer que est irrationnel, par contre, on peut montrer que l'on n'a pas de telles racines.

Soit en effet , et premiers entre eux, une racine rationnelle de . On a
.

Point n'est besoin de faire une étude de parité :
– donc divise et, comme il est premier avec , le théorème de Gauss permet d'affirmer que ;
– donc divise et, comme il est premier avec , le théorème de Gauss permet d'affirmer que .

Les seules racines rationnelles possibles sont 1 et -1, dont il est facile de vérifier qu'elles ne conviennent pas.

[Jeanpaul]

Il y a quand même un petit truc qui pose problème, c'est qu'on a l'impression que ce raisonnement tient pour n'importe quel polynôme.
Si on prend par exemple le polynôme x^3 - x² - x - 2 = 0 on pourrait dire qu'il n'a pas de racines rationnelles, alors que 2 est racine.
J'ai l'impression qu'il est fondamental que les 2 coefficients extrêmes valent 1.
C'est juste, ça ?

[God's Breath]

Il y a quand même un petit truc qui pose problème, c'est qu'on a l'impression que ce raisonnement tient pour n'importe quel polynôme.
Si on prend par exemple le polynôme x^3 - x2 - x - 2 = 0 on pourrait dire qu'il n'a pas de racines rationnelles, alors que 2 est racine.
J'ai l'impression qu'il est fondamental que les 2 coefficients extrêmes valent 1.
C'est juste, ça ?

On a un résultat général sur les racines rationnelles des polynômes à coefficients entier.

Sur ton exemple, soit , et premiers entre eux, une racine rationnelle de . On a
, d'où :
– donc divise et, comme il est premier avec , le théorème de Gauss permet d'affirmer que ;
– donc divise et, comme il est premier avec , le théorème de Gauss permet d'affirmer quil divise 2.

Les seules racines rationnelles possibles sont 1, -1, 2, ou -2 parmi lesquelles seule 2 convient.

De façon général, si , et premiers entre eux, est une racine rationnelle de , les étant entiers, alors divise et divise , ce qui limite le nombre de possibilités, et permet une recherche exhaustive.

[Jeanpaul]

Intéressant, je ne connaissais pas. Et bien entendu, s'il y a une racine rationnelle, ça ne veut pas dire que les autres le sont.