Base du noyau d'un endomorphisme

[invite2df9dfca]

Bonjour, j'ai quelques problèmes sur des points importants d'algèbre par exemple,j'ai la matrice d'un endomorphisme d'un espace de dimension 4: matrice 4*4 avec des 0 partout sauf ligne 1 colonne 2 et ligne 3 colonne 4 où les coefficients sont 2a et -2a dans la base (f1,f2,f3,f4).
Je dois trouver une base de l'image et du noyau de l'endomorphisme.
Pour la base de l'image (f1,f3) convient et d'aprés le théorème du rang la base du noyau contient aussi 2 vecteurs ... je ne sais pas comment on trouve une base d'un noyau quand on a la matrice associée à une application linéaire ...
Merci beaucoup.
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[invited7441b93]

Voici la methode generale:Tu multiplies ta matrice par un vecteur X=(x y z t) (en colonne) et tu résout le systeme AX=0. Tu trouveras un sev dont il est facile de trouver une base. Ici c'est très simple si a différent de zero (0 1 0 0) et (0 0 0 1) sont solutions du systeme et sont lineairement independants donc f2 et f4 forment une base.

[invite2df9dfca]

Dans une correction on me dit qu'il est évident que (f1,f3) est une base du noyau ...

[invited7441b93]

oui c vrai les vecteurs que j ai donné ne sont pas dans le noyau( je me suis fait avoir par le fait que tu disais que f1 et f3 formait une base de l image)mais ce sont effectivement f1 et f3 qui sont dans le noyau.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2df9dfca]

ok ça marche, merci!