Noyau d'une base

[invite0813f4b5]

Je dois trouver la base du noyau d'une matrice canonique qui définit une application linéaire de R⁵ dans R³.

la matrice est

12345
23451
34512

bref, le prof nous a dit d'utiliser le Pivot de Gauss.
je l'ai fait et j'obtiens la matrice suivante :

1 2 3 4 5
0 -1 -2 -3 -4 -5
0 0 0 0 0

mais maintenant, j'en fais quoi ? moi, à part dire que la dimension du sous espace vectoriel engendré par les 5 vecteurs est de dimension 2 (et encore, ça si je le note, c'est grâce à l'exemple du cours, et non pas parce que j'ai compris ce que je viens d'écrire ou ce que j'ai fait...)

je ne sais pas comment trouver le noyau ni sa base ni comment la completer ....
-----

[invite616e6f6a]

Salut,

pour trouver la base du noyau de ta matrice, tu dois resoudre AX=0, avec X matrice colonne de coordonnée (a,b,c,d,e). A c'est la matrice qu'on te donne.
Quand t''auras trouvé les coordonnées de X, tu auras les vecteurs de base du noyau.

Rappelle toi de la definition du noyau d'une application f: l'ensemble des x tel que f(x)=0. Ici, c'est pareil avec les matrices!

[invite0813f4b5]

donc ce que j ai fait avec le pivot de gauss, ca ne sert à rien ...

[invite0813f4b5]

Salut,

pour trouver la base du noyau de ta matrice, tu dois resoudre AX=0, avec X matrice colonne de coordonnée (a,b,c,d,e). A c'est la matrice qu'on te donne.
Quand t''auras trouvé les coordonnées de X, tu auras les vecteurs de base du noyau.

Rappelle toi de la definition du noyau d'une application f: l'ensemble des x tel que f(x)=0. Ici, c'est pareil avec les matrices!

il faut que je résolve le système :

a+2b+3c+4d+5e = 0
2a+3b+4c+5d+e = 0
3a+4b+5c+d+2e=0

mais c'est un système de 3 équations à 5 inconnues... j'aurais forcément 2 paramètres non? ou bien il y a une autre façons de faire????

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0813f4b5]

bref, le prof nous a dit d'utiliser le Pivot de Gauss.
je l'ai fait et j'obtiens la matrice suivante :

1 2 3 4 5
0 -1 -2 -3 -4 -5
0 0 0 0 0

je me suis plantée, je viens de refaire le calcul et je trouve :

1 2 3 4 5
0 -1 -2 -3 -9
0 0 0 0 20

est ce que ca veut dire que mon noyau est composé des 3 vecteurs :
v1 (1,2,3,4,5) ; v2(0,-1,-2,-3,-9) et v3(0,0,0,0,20) ??

c'est ça ?

[invite0813f4b5]

il faut que je résolve le système :

a+2b+3c+4d+5e = 0
2a+3b+4c+5d+e = 0
3a+4b+5c+d+2e=0

en résolvant ce système je trouve
a= 2c
b= -7/2c
c= c
d= c/2
e= 0...

est ce que c'est correct ?
du coup j'aurais tendance à dire que le noyau de ma matrice est
{ (1,0,2,0) ; (0,1,-7/2,0) ; (0,0,1,0) ; (0,0,1/2,1) }
est ce que c'est ca ?

oui je sais je parle toute seule et je change 15 fois d'avis...

[invitec317278e]

Ta résolution est fausse.

moi je trouve :


C'est peut être faux aussi, mais moins improbable.

J'aurais alors (en supposant que ce qui précède est juste) que le noyau est l'ensemble des éléments de la forme :

Ce qui s'écrit :

[invitec317278e]

Et pour info, voici mes différentes matrices successives quand j'ai fait le pivot de gauss pour résoudre le système :

[invite0813f4b5]

Hey, j'ai repris mes calculs... et il s'avere que je suis nulle en calcul mental !
je remercie l'inventeur de la calto !!

(toi aussi en passant !)

[invite0813f4b5]

comment fait on pour completer la base du noyau ?

(déja je vois pas ce qu'il faut completer alors bon...)