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Convexité



  1. #1
    lisa741

    Talking Convexité


    ------

    Bonsoir à tous, bien que la plupart sont dans leur lit ...

    La notion de convexité est toute nouvelle pour moi. Alors pouvez-vous m'accompagner dans mon premier exercice sur la convexité ?

    1) Etudier la convexité ou les intervalles de convexité de fonctions suivantes:
    f1(x)=ln(x) ; f2(x)=xa avec a (alpha) un réel ; f3(x)=xln(x)

    2) En utilisant le 1), étudier les extrema des fonctions précédentes et leur cractère local ou global

    3) Quels sont les positions des courbes de ces fonctions par rapport à leurs tangentes ?

    J'ai commencé par écrire:

    1) quelque soit (x0;x1) appartient à un intervalle I^2 et queslque soit s appartient à l'intervalle ]0;1[,
    si : ln(sx1+(1-s)x0) < sln(x)+(1-s)f(x0) , alors ln(x) est strictement convexe.

    Suis-je bien partie ?

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : convexité

    Ne serait-il pas plus simple d'étudier les intervalles de convexité à partir du signe de la dérivée seconde ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    lisa741

    Arrow Re : Convexité

    D'accord God's Breath, je vais faire comme tu dis:

    f1(x)=lnx
    D=]0;+infini[
    (lnx)''= -1/x2
    c'est négatif, donc f1 est concave sur D.

    f2(x)=xa
    D=R
    (xa)''= axa-1
    c'est positif quand a est pair. donc quand a est pair, f2 est convexe sur R. Par contre, quand a est négatif, f2 peut -être à la fois positif et négatif sur R. Alors lorsque a est impair, f2 peut-être convexe sur une partie de R et concanve sur une autre partie de R

    f3(x)=xlnx
    (xlnx)''=ln(x)+1
    c'est positif sur R. Donc f3 est convexe sur R

    Mon raisonnement est-il correct ? Je doute beaucoup sur celui de f2 ...

  4. #4
    Thorin

    Re : Convexité

    Pour f2 et f3 : le principe de la dérivée seconde, c'est qu'il faut dériver deux fois, et non une seule.

    Pour f2 en particulier : si a est un rel, envisager la parité ne suffit pas, 0.8 n'est ni pair ni impair.
    Il faudra là se souvenir du domaine de définition de x^a, particulièrement quand x est négatif.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    lisa741

    Question Re : Convexité

    Merci Thorin !

    Alors si j'ai bien compris:

    f''2(x)= (a2-a)*xa-2
    le signe de f''2 dépend de xa. Mais je ne sais pas l'étudier ...

    f3''(x)= 1/x
    Donc f2 est concave sur ]-infini;0[ et convexe sur ]0;+infini[

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