Convexité

[invite315859bc]

Bonsoir à tous, bien que la plupart sont dans leur lit ...

La notion de convexité est toute nouvelle pour moi. Alors pouvez-vous m'accompagner dans mon premier exercice sur la convexité ?

1) Etudier la convexité ou les intervalles de convexité de fonctions suivantes:
f1(x)=ln(x) ; f2(x)=x^a avec a (alpha) un réel ; f3(x)=xln(x)

2) En utilisant le 1), étudier les extrema des fonctions précédentes et leur cractère local ou global

3) Quels sont les positions des courbes de ces fonctions par rapport à leurs tangentes ?

J'ai commencé par écrire:

1) quelque soit (x0;x1) appartient à un intervalle I^2 et queslque soit s appartient à l'intervalle ]0;1[,
si : ln(sx1+(1-s)x0) < sln(x)+(1-s)f(x0) , alors ln(x) est strictement convexe.

Suis-je bien partie ?
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[invite57a1e779]

Ne serait-il pas plus simple d'étudier les intervalles de convexité à partir du signe de la dérivée seconde ?

[invite315859bc]

D'accord God's Breath, je vais faire comme tu dis:

f1(x)=lnx
D=]0;+infini[
(lnx)''= -1/x²
c'est négatif, donc f1 est concave sur D.

f2(x)=x^a
D=R
(x^a)''= ax^a-1
c'est positif quand a est pair. donc quand a est pair, f2 est convexe sur R. Par contre, quand a est négatif, f2 peut -être à la fois positif et négatif sur R. Alors lorsque a est impair, f2 peut-être convexe sur une partie de R et concanve sur une autre partie de R

f3(x)=xlnx
(xlnx)''=ln(x)+1
c'est positif sur R. Donc f3 est convexe sur R

Mon raisonnement est-il correct ? Je doute beaucoup sur celui de f2 ...

[invitec317278e]

Pour f2 et f3 : le principe de la dérivée seconde, c'est qu'il faut dériver deux fois, et non une seule.

Pour f2 en particulier : si a est un rel, envisager la parité ne suffit pas, 0.8 n'est ni pair ni impair.
Il faudra là se souvenir du domaine de définition de x^a, particulièrement quand x est négatif.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite315859bc]

Merci Thorin !

Alors si j'ai bien compris:

f''2(x)= (a²-a)*x^a-2
le signe de f''2 dépend de x^a. Mais je ne sais pas l'étudier ...

f3''(x)= 1/x
Donc f2 est concave sur ]-infini;0[ et convexe sur ]0;+infini[