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Problème avec le noyau d'une forme linéaire



  1. #1
    Pierre24

    Problème avec le noyau d'une forme linéaire


    ------

    Bonjour,
    j'ai une question :
    j'ai un espace vectoriel G qui a pour éléments toutes les suites de K^N, u=(Un) (n entier naturel) tel que lim Un=0

    Si je définie Phi(u)=lim Un
    Mon livre affirme que G n'est pas le noyau de la forme linéaire non nulle Phi de K^N. Je vois pas pourquoi ?

    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    GuYem

    Re : Problème avec le noyau d'une forme linéaire

    Salut,

    Il y a juste un problème de définition de Phi : si Phi est définie seulement sur G, alors elle est nulle. Donc tu ne peux pas dire que G est le noyau de la forme linéaire NON NULLE Phi.

    Phi ne peux pas être définie sur K^N tout entier puisque toutes les suites ne convergent pas.

    Par contre, si Phi est définie sur l'espace vectoriel des suites convergentes de K^N, alors elle est non nulle (il y a des suites qui convergent vers autre chose que 0 ...) et G en est le noyau.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  3. #3
    Pierre24

    Re : Problème avec le noyau d'une forme linéaire

    Merci à toi pour cette réponse. Elle m'aide pas mal. Donc tu dis que Phi ne peux pas être définie sur K^N tout entier ? C'est vrai que si je prend une suite qui ne converge pas Phi de cette suite = + ou - l'infini. Ca parait bizarre mais pourtant l'infini appartient aux réels?

  4. #4
    GuYem

    Re : Problème avec le noyau d'une forme linéaire

    Phi ne peut pas être définie sur K^N tout entier.
    N'oublie pas qu'il y a des suites qui ne convergent pas, donc pour lesquelles "lim U_n" n'a pas de sens. Ces suites là ne sont pas seulement celles qui divergent vers +/- infini ! Regarde la suite (-1)^n.

    EDIT : et pour répondre clairement à ta dernière question : non l'infini n'appartient pas au réels. Pour moi, l'infini est une notation et on peut faire beaucoup de maths sans se poser plus de questions à son sujet.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Ledescat

    Re : Problème avec le noyau d'une forme linéaire

    C'est pour ça qu'on parle de
    Cogito ergo sum.

  7. #6
    Pierre24

    Re : Problème avec le noyau d'une forme linéaire

    Merci beaucoup, j'ai tout compris. J'ai une autre question (eh oui, en ces périodes de révision des concours...) : en fait, en classe, on a fait un exo mais il me manque une ligne d'explication et c'est un sacré problème. Le but est de montrer que
    rang(u²)=rang(u)-dim(Ker u inter Im(u))

    La bonne idée est de considérer ceci
    Im u---->Im u²
    u : x -------> u(x)

    avec en plus une application linéaire f de Im u dans Im u²

    La première chose est de montrer Im u²= Im f
    Une inclusion est logique : Im f inclus dans Im u²
    mais l'autre ne l'est pas :
    soit x appartenant à Im u² alors il existe y tel que
    u(u(y))=x ce qui implique que u(y) appartient à Im u------------------------------------------------------------------------alors x appartient à Im f

    Voilà, il me manque cette partie, j'ai tout essayé (Ker f inclus dans Im (u) peut il aider ?)

    Merci d'avance, ce doit être vraiment tout c**.

  8. #7
    kron

    Re : Problème avec le noyau d'une forme linéaire

    Citation Envoyé par Pierre24 Voir le message
    rang(u²)=rang(u)-dim(Ker u inter Im(u))
    Connais-tu le théorème du rang ?

    avec en plus une application linéaire f de Im u dans Im u²

    La première chose est de montrer Im u²= Im f
    euh... Là j'ai pas compris. f est une application linéaire quelconque, ou un isomorphisme ?
    Si f est nulle, Im(f) = {0} et Im(u²) n'est pas nécessairement réduit au vecteur nul...
    Life is music !

  9. #8
    Taar

    Re : Problème avec le noyau d'une forme linéaire

    Salut !

    Citation Envoyé par Pierre24 Voir le message
    La bonne idée est de considérer ceci
    Im u---->Im u²
    u : x -------> u(x)
    Tout devient cohérent si tu notes f cette application (au lieu de u). Autrement dit, f n'est pas n'importe quelle application linéaire, mais l'application Im u --> Im u2 qui, à x, associe u(x).

    Taar.

  10. #9
    kron

    Re : Problème avec le noyau d'une forme linéaire

    Citation Envoyé par kron Voir le message
    f est une application linéaire quelconque, ou un isomorphisme ?
    Petite rectification après le post de taar...
    f n'a aucune raison d'être un isomorphisme. Je pense que l'explication de taar est la bonne.
    Life is music !

  11. #10
    Pierre24

    Re : Problème avec le noyau d'une forme linéaire

    Vous voudriez dire que f : x ---> u(x) ? Ca voudrait dire que f = u alors ? Je ne me comprends plus moi même lol

  12. #11
    Taar

    Re : Problème avec le noyau d'une forme linéaire

    Oui, f c'est comme u, sauf qu'on a changé les ensembles de départ et d'arrivée. Du coup ça n'est plus tout à fait la même application.

    Taar.

  13. #12
    Pierre24

    Re : Problème avec le noyau d'une forme linéaire

    Ah ok. C'est pour ça, merci. Mais alors, pour la partie qui me manque, comment faire stp ?

  14. #13
    kron

    Re : Problème avec le noyau d'une forme linéaire

    Euh...
    En disant que f(u(y) = u(u(y))?
    Life is music !

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