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Base de Lagrange



  1. #1
    GogetaSS5

    Base de Lagrange


    ------

    Bonjour tout le monde
    Bon bah ca fait 2 - 3 heures je planche la dessus, mais je doit bien l'avouer je tourne en rond...

    Il s'agit de montrer que :

    i € {1,2,3,......,n}
    x1,.......,xi réels différents deux à deux.

    Pi(X)= (X-x1)...(X-xi-1)(X-xi+1)...(X-xn) / (xi-x1)...(xi-xi-1)(xi-xi+1)...(xi-xn)

    Montrer que la famille (P1,....Pi) est une base de R[x]<n-1 :

    En faite faudrait montrer je pense que cette famille est libre mais c'est un peu plus facile a dire qu'a faire.

    -----
    Dernière modification par GogetaSS5 ; 23/02/2007 à 19h40.

  2. Publicité
  3. #2
    Rincevent

    Re : Base de Lagrange

    salut,

    suffit pas de montrer que la seule combinaison linéaire de ces gens-là valant 0 est celle où tous les coefs sont nuls ? perso j'écrirais une somme générale les comprenant tous puis essaierais de choisir des "valeurs bien choisies " de X pour que le polynome somme évalué à ces valeurs me donne des équations portant sur ses coefs et menant directement à des conditions du genre a_i = 0...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  4. #3
    GogetaSS5

    Re : Base de Lagrange

    En effet il faut montrer que :

    a1P1 + ...... + anPn = 0 => a1=...=an=0

    Or Dim(R[X]<=n-1) = n
    Et Dim (Vect(P1,.......,Pn)) = n

    donc

    Famille libre <=> Famille génératrice <=> Base

    OK je voit ce que tu veut dire pour monter que la famille est libre (linéairement indépendante), j'ai lu une ou deux propriétés sur les polynômes d'interpolation de Lagrange. (Propriété que notre professeur a oublié de nous précisé ^^).

    Un grand merci, je vais m'amuse avec ca après ^^

  5. #4
    GogetaSS5

    Re : Base de Lagrange

    DSL c'est juste un texte, je vient de découvrire comment vous faisiez pour écrire en math

    i € {1,2,3,......,n}
    x1,.......,xi réels différents deux à deux.




    Montrer que la famille (P1,....Pi) est une base de R[x]<n-1 :

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Ledescat

    Re : Base de Lagrange

    Citation Envoyé par GogetaSS5 Voir le message
    Famille libre <=> Famille génératrice <=> Base
    Je ne suis pas sûr de te suivre pour cette affirmation.

    Sinon les polynômes d'interpolation de Lagrange possèdent beaucoup de propriétés. La plus évidente est celle de valoir 0 sauf en où il vaut 1.
    Cogito ergo sum.

  8. #6
    GogetaSS5

    Re : Base de Lagrange

    E est un espace vectoriel et v1,v2,.....,vn € E
    Si on a F = vect(v1,v2,........vn)
    Et si dim (E) = dim (F)
    F libre <=> F génératrice de E<=> F Base de E
    Pourquoi ?

    Toute les base de E ont le même cardinal, à savoir dim (E) .

    Donc la proposition ci dessus devient évidente. (J'ai pas envie de recopier toute la démonstration, mais c'est assez logique).

    Sinon merci pour ces propriétés

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  10. #7
    GogetaSS5

    Re : Base de Lagrange

    OK alors je vous poste ma démonstration dans les grandes lignes :

    On va monter que (P1,....,Pn) est une famille libre avec une réccurence sur n :

    n=1 j'ai un petit bleme, il faudra que je demande à l'enseignant, parce que la def de Pn n'a pas de sens si n=1. Don j'initialise a n=2

    n=2 aP1 + bP2 = 0
    Supposons par l'absurde a<>0
    => P1 = - (b/a) P2
    => P1(x1) = -(b/a) P2(x1)
    => 1 = 0 ABSURDE
    donc a = 0

    => bP2=0
    => bP2(x2)=0
    => b=0

    On a montré que P1, P2 libre.
    Supposons la proposition vrai jusqu'au rang (n-1)
    Montrons la au rang n :

    Vous faite le même raisonnement que ci dessus en supposant que le coeff de Pn est différent de 0 et en montrant que c'est absurde, puis vous utiliser l'hypothèse de réccurence.

    P1,............,Pn est une famille libre

    or Dim (P1,...........,Pn) = n
    et Dim (R[x]n-1) = n

    donc (P1,..........,Pn) est une base de R[x]n-1

    et voila, au bout de quelques heures de travailles ^^

    Je vous remercie, surtout pout les propriété des Polynomes de Lagrange que j'avais pas remarqué...

  11. #8
    CollatzFan

    Re : Base de Lagrange

    Une autre façon aurait pu être de calculer la matrice de passage vers la base canonique des polynomes (1, x, x^2 ...X^(n-1)) et montrer que cette matrice est inversible.

  12. #9
    GogetaSS5

    Re : Base de Lagrange

    Je suppose que ce que tu veut faire c'est une sorte de changement de base, mais on l'a pas encore vu.

    J'essairaie une fois qu'on aura vu ca.

  13. #10
    ericcc

    Re : Base de Lagrange

    Je ne crois pas que tu aies besoin de la récurrence, ni de passer par l'absurde.

    Soit ai des réels tels que

    Sum (aiPi(X)) = 0

    Que vaut l'expression ci dessus quand X=x1 ? et x2 ?

  14. #11
    GogetaSS5

    Re : Base de Lagrange

    Je voit ce que tu veut dire, j'ai utilisé ca dans la deuxieme question, qui consitait a donner les coordonnées des polynomes dans cette base.

    C'est vrai que c'est un peu plus court ^^

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