methode de lagrange

[inviteb1ef7d0e]

bonjour , j'ai une petite question bete sur la methode de lagrange (et de newton)
dans un cours j'ai:

si f est C2([a,b]) ,f(a)<0,f(b)>0 , f'>0 et f''>0 sur [a,b]
u0=a
u(n+1)=(un*f(b)-b*f(un))/(f(b)-f(un))
un est croissante ,majoree par r ,et converge vers r (r est solution de f(x)=0)

jusque la ca va.

apres une proposition dit
0<=r-u(n+1)<=(r-un)(b-a)*M2/(|f'(a)|)

mon probleme est que je ne comprends pas bien l'interet de cette proposition parce qu'apparemment (b-a)*M2/(|f'(a)|) n'est pas forcement plus petit que 1 et je ne peux donc pas en conclure grand chose ...
pourriez vous m'expliquer s'il vous plait . merci beaucoup .
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[invited5b2473a]

C'est toi qui va choisir a et b de tels manière que ton terme M2/f'(a) soit aussi petit que tu veux.

[inviteb1ef7d0e]

merci indian58 , c'etait effectivement une question bete ...

[invited5b2473a]

C'est la même chose pour la méthode de Newton: ce sont deux méthodes locales. D'ailleur pour la méthode de Newton, il existe deux théorèmes donnant une condition suffisante de convergence (linéaire et quadratique) de lla suite de Newton associée au point x0 (la valeur initiale), l'un faisant appel à des renseignement sur un voisinage de x0 mais ne supposant que f est de classe cC2 (théorie de Kantorovitch) et l'autre (théorème alpha de Smale) ne fait appel qu'à des renseignements sur x0 mais suppose que f est de classe Cinfini.

Je vous renvoie à l'excellent papier de Jean-Pierre Dedieu:

POINTS FIXES, ZEROS ET LA
METHODE DE NEWTON

[A voir en vidéo sur Futura]