Résoudre rigoureusement une équadiff

[Bleyblue]

Bonjour,

Dites je commence à me rendre compte que si je veux résoudre une équation différentielle en justifiant rigoureusement toutes les étapes ça peut devenir difficile (avant moi j'appliquais mécaniquement telle ou telle méthode sans me poser de questions mais maintenant je dois justifier tout ce que je fais ...)

Apparament pour lors de la résolution de d'une équation telle que :



Je dois justifier ça comme ça :

Si y(x) est différent de zéro pour tout x du domaine de y

Alors je peux écrire :


et intégrer des deux côtés (par un théorème vu au cours théorique) pour tomber sur :



donc y = K une constante réelle

Oui mais ça c'est juste si y(x) est non nulle pour tout x

La fonction y = 0 est aussi solution de l'équation, mais rien ne me dit à priori qu'il n'existe pas de solution qui soit nulle pour certaines valeurs de x uniquement.

Je ne vois pas comment justifier à partir de ce point ci
La solution générale il me semble que c'est y = 0 ou y = K une constante réelle mais comment régler le point délicat que j'ai soulevé ?

merci
-----

[invitec053041c]

Il est vrai que résoudre une équa diff peut rapidement devenir un problème de forme plus que de fond. Souvent, il faut séparer l'étude en intervalles et considérer etc... sur chaque intervalle (le pire est d'utiliser des comme dans le cas où l'on se retrouve avec une tangente.
Ici, je ne vois pas comment tu peux faire autrement.
Tu dis bien que la solution triviale de la fonction nulle marche.
Ensuite tu considères que ta fonction n'est pas IDENTIQUEMENT nulle, donc tu détermineras à la fin sur quels intervalles celle-ci est définie.
N'oublie pas de dire que ta fonction n'est pas définie en ...

[invited9d78a37]

attention!!si tu resous ton equadiff sur R, ca se complique

si K<0 alors ca marche pour tout
idem pour K>0

[Bleyblue]

D'accord, cela se ramène à déterminer le domaine de la fonction

Mais qui-est ce qui m'assure qu'il n'existe pas une fonction solution s'annulant pour certaines (pas toutes) valeurs de x uniqument ?
Mon raisonnement ne l'a pas prise en compte car j'ai supposé y(x) non nul qul que soit x dans le domaine, c'est ça qui me perturbe un peu ...

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Je vois ce que tu veux dire...déroutant!

[invited9d78a37]

Mon raisonnement ne l'a pas prise en compte car j'ai supposé y(x) non nul qul que soit x dans le domaine, c'est ça qui me perturbe un peu ...

merci

oui mais quel domaine?
tu as dis

Si y(x) est différent de zéro pour tout x du domaine de y

dire le domaine de y, n'empeche pas d'exclure initialement les points ou il y a ou peut avoir un problème.dire le domaine de y sans connaître y,ca laisse une infinité de domaine, surlesquels tu pourras revenir après avoir déterminé y.
puis revenir sur les points où tu peux au mieux faire des prolongements par continuité.
en aucun cas tu as exclu a ta fonction de s'annuler sur des points, tu les as justes mis de cotés
je sais pas si j'ai raison et si j'arrive a me faire comprendre

[invite10a6d253]

Connais-tu le théorème de Cauchy-Lipschitz ?
Ou le théorème du point fixe ?

[inviteaeeb6d8b]

effectivement, (j'arrive trop tard ), le théorème de Cauchy-Lipschitz résoudra tous tes problèmes

Romain

[invitec053041c]

Que dit-il ce fameux théorème?

[inviteaeeb6d8b]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...uchy-Lipschitz

EDIT : ouh la, je viens de me rendre compte que le problème posé par bleyblue était une équa diff non linéaire...

[Bleyblue]

Me revoilà, désolé pour le retard de ma réponse

Le problème avec les équations différentielles c'est que les années précédantes on m'a surtout apprit à les résoudres sans me poser de question du coup je ne connais pas des masses de théorèmes pour justifier mes calculs (pour les équations différentielles linéaires j'en connais un ou deux mais bon ça ne m'aide pas ici comme le fait remarquer Romain)

Mais ici je ne vois pas trop à quoi ce fameux théorème pourrait m'aider et il faudrait en plus que je m'assure que la fonction f dont il est question est Lipschitzienne ce qui ne me semble pas facile à priori

En fait je pense qu'on peut montrer que :

Si y(x) est solution et s'il existe a tel que y(a) = 0 alors y(x) = 0 pour tout x réel

non ?

merci

[Bleyblue]

en aucun cas tu as exclu a ta fonction de s'annuler sur des points, tu les as justes mis de cotés
je sais pas si j'ai raison et si j'arrive a me faire comprendre

Tu es sûr ? Car pour moi cela veut dire que je considère qu'y est une fonction sans racines réelles ...

merci

[invite4b9cdbca]

Si y(x) est solution et s'il existe a tel que y(a) = 0 alors y(x) = 0 pour tout x réel

Et il y a un théorème qui dit : par tout point de IxR (I est le domaine de définition de y) passe une et une seule courbe intégrale.
Ainsi, comme tu sais que la fonction nulle est solution, si une fonction s'annule, elle est nécessairement la fonction nulle.

[Bleyblue]

Ah, chouette ça mais K c'est quoi ? Pas ma constante d'intégration quand même

[invite4b9cdbca]

Non K c'est le corps dans lequel ta fonction a ses valeurs (enfin je crois...)

[Bleyblue]

bon bon, ça c'est un résultat encourageant

Sais-tu pour quels types d'équation différentielle ce résultat est valable (oui je suis casse pied je sais )

Nimporte quelle équadiff de nimporte quel ordre ?

merci

[invite4b9cdbca]

Euh... Je crois que je t'ai dit une bêtise et que ce n'est pas appilicable aux equadiff non linéaires...

En revanche le Théorème de Cauchy Lipschitz dit que :
"Soit f une fonction de classe 1 sur un ouvert A de R², à valeurs dans R, (x0,y0) un pont de A. Alors l'équadiff y' = f(x,y) admet une solution maximale unique telle que y(x0) = y0, et cette solution maximale est définie sur un ouvert de R"

On devrait pouvoir parvenir aux mêmes conclusions que précédemment. La solution nulle est maximale, donc aucune autre solution ne devrait pas s'annuler.

[invite10a6d253]

Allez, une méthode à la main : supposons par l'absurde qu'il existe une solution y qui s'annule en (au moins) un point mais qui n'est pas identiquement nulle, donc pour au moins un x1. Supposons par exemple que . Posons
et



Montre que et que

Déduis-en que est strictement croissante pour et déduis-en la forme explicite de z, ce qui t'amènera à une contradiction

[Bleyblue]

D'accord je vais essayer de faire ça merci bien

Et une dernière chose, la remarque de chewbij me fait peur la.
Quand je dis "Si y(x) est différent de zéro pour tout x du domaine de y"

Ca veut bien dire "supposons que y soit une fonction sans racines" (et trouvons alors une expression de y)

Ou bien "ne considérons que les points x ou y(x) est non nul"

?

merci

[invite4b9cdbca]

Pour ma part, mon prof m'a dit que c'est une fonction "sans racine", comme tu dis...
D'ailleurs cettedite fonction n'existe pas toujours...
Une vraie galère...

[invite10a6d253]

D'accord je vais essayer de faire ça merci bien

Et une dernière chose, la remarque de chewbij me fait peur la.
Quand je dis "Si y(x) est différent de zéro pour tout x du domaine de y"

Ca veut bien dire "supposons que y soit une fonction sans racines" (et trouvons alors une expression de y)

C'est bien ça.

[Bleyblue]

D'accord

Bon eh bien les amis vous avez réglé pas mal de mes problèmes la

un grand merci à tous !

[invite4b9cdbca]

Le plaisir est partagé
Et en plus ça m'a permis de revoir un peu les équadiff (j'en avais grand besoin, finalement)...

Bonne soirée à ceux que je ne verrai pas ce soir

[invited9d78a37]

et moi de me rendre compte qu'il faut que je rebosse ca fissa