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base de Lagrange sur des simplexes?



  1. #1
    hfahs

    base de Lagrange sur des simplexes?


    ------

    Bonjour,

    comment calculer explicitement les bases de Lagrange sur un triangle de sommet (0,0), (1,0) et (0,1), pour des polynomes de degré > 7. ???
    il est connu k'on peut les calculer à la main, mais pour des degré supérieurs cela prend bcp de temps. A ma connaissance, je né pas vu ces polynomes pour des degrés >9.

    l'idéal est de trouver un code sur Maple ou fortran, ki permet de générer rapidement les noeuds et les fonctions de bases correspondant. ??

    Merci

    Hassan

    -----

  2. #2
    rvz

    Re : base de Lagrange sur des simplexes?

    Salut,

    Qu'est ce que c'est une base de Lagrange ?
    Ici je vois trois points particuliers seulement, donc si tu cherches une base avec des polynômes de Lagrange, ça parait bizarre de faire ça au degré 7. Je ne dois pas bien comprendre la question...

    __
    rvz

  3. #3
    hfahs

    Re : base de Lagrange sur des simplexes?

    salut,
    effectivement, ces 3 points que tu vois s'appellent les noeuds géométriques, sont juste pour définir la position du triangle en question. Mais bein sure tu peux calculer une base de Lagrange de degré 7, sur ce triangle, tu as besoin seulement de définir tes noeuds. par exemple, pour un polynome de degré 3, les noeuds sont:
    (0,0), (1/4,0), (3/4,0), (1,0), (3/4,1/4),(1/4,3/4),(0,1) ,(0,3/4), (0,1/4) et (1/2,1/2).
    donc tu peux le calculer facilement maintenant en resolvant un systeme lineaire.

    la question, est comment calculer rapidement ces polynomes en utilisant un code sur Maple ou Fortran. Bien sure on sat tres bien comment les calculer à la main, mais ca prend beaucoup de temps.

    est ce tu vois????

  4. #4
    hfahs

    Re : base de Lagrange sur des simplexes?

    J'ai oublié une chose aussi. c'est une question de mathématiques supérieurs, donc si tu sais pas la base de Lagrange, je pense que ca doit etre tres compliqué pour toi.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    rvz

    Re : base de Lagrange sur des simplexes?

    Salut,

    Je ne comprends toujours pas. Tu cherches une base des polynômes de degré 7 ( ce qui forme un espace vectoriel de dimension 8 si je ne m'abuse) et tu définis 10 points !

    Pour le fortran/maple, j'en sais rien, mais ce que j'ai appelé un jour les polynômes de Lagrange, c'est :
    Je considère n points distincts x1, x2, ..., xn. Je regarde les polynômes de degré n-1 qui vérifient P_k(x_j) = 1 si j=k, 0 sinon. Si c'est ça, on vérifie facilement que P_k est proportionnel à Q_k = produit des X-xj pour j différent de k , et il n'y a plus qu'à le normaliser. Tu obtiens P_k(X) = Q_k(X) /Q_k(xk).

    Ici, tu cherches des polynômes de degré 7, tu devrais donc avoir 8 points avec cette approche.

    J'ai encore du mal comprendre

    __
    rvz

  7. #6
    rvz

    Re : base de Lagrange sur des simplexes?

    Grmpf !

    J'ai compris pourquoi je comprenais pas. Tu travailles évidemment en 2D, donc tes polynômes sont des polynômes en X et Y, c'est ça ?

    Du coup, je pose encore une question : Quand tu dis polynôme de degré n, tu veux dire polynôme de degré n en chaque variable ( de dimension (n+1)^2, ou de degré total n (et donc de dimension (n+1)(n+2)/2)? D'après ton exemple, c'est plutot la deuxième option que tu as choisie, n'est ce pas ?

    __
    rvz
    Dernière modification par rvz ; 10/08/2006 à 15h49.

  8. #7
    hfahs

    Re : base de Lagrange sur des simplexes?

    tres bien, on commence à entrer dans les détails !!
    bien sure, quand on travaille sur des simplexes (en particulier sur des triangles i.e en 2D) les polynomes de degrés n sont oubien en X ou bien en Y !!!
    par contre si tu travaille pas sur des simplexes, par exemple sur des carrés ou cubes, les polynomes de degrés n, sont en x et y. voila un exemple.
    prenant les bases canoniques de degré 2:
    sur des triangles sont: 1, x, x^2, y, y^2.
    sur des carrés sont: 1, x, x^2, xy, y, y^2

    bon courage
    Hassan

  9. #8
    hfahs

    Re : base de Lagrange sur des simplexes?

    rappel:
    le probleme est de développer un petit code sur Maple ou sur Fortran, permet de générer rapidement ces polynomes pour n'importe quel degré.
    i.e tu donne comme entré le degré du polynome et le code génère les points d'interpolations et les polynomes correspondant.

    courage
    Hassan

  10. #9
    GuYem

    Re : base de Lagrange sur des simplexes?

    Je crois que j'ai toujours pas compris la question ...

    Les polynome que tu donnes en message #7 sont censés faire quoi ? Valoir 1 sur une certaine extrémité d'un carré et 0 sur les autres ? Si oui de quel carré tu parles ?

    -------
    GuYem, pour une meilleure compréhension de la question
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  11. #10
    rvz

    Re : base de Lagrange sur des simplexes?

    Resalut,

    J'ai toujours l'impression qu'on parle pas de la même chose.

    Première question :
    Tu travailles dans quel espace de polynôme au juste ?
    Les polynômes de degré < 8 en x et y sans termes croisé ?

    Deuxième question :
    A propos du code que tu veux, qu'entends tu par "le code génére les points d'interpolation" ? Pour moi, quand tu fais des bases type polynôme de Lagrange, tes points d'interpolations sont des données, en aucun cas des variables.

    Troisième question :
    J'ai l'impression qu'écrire le code revient essentiellement à inverser une matrice de taille raisonnable, dont tu connais les coefficients. Ca ne me paraît pas infaisable numériquement.

    J'ai un peu l'impression d'être à coté de la plaque sur ton problème, mais si pouvais prendre le temps de clarifier encore un peu ces questions, ce serait super. (en particulier les deux premières)

    [edit : Grillé par Guyem. Ca ferait presque plaisir de savoir que je ne suis pas le seul à vraiment comprendre la question]
    __
    rvz

  12. #11
    GrisBleu

    Re : base de Lagrange sur des simplexes?

    Citation Envoyé par hfahs
    donc si tu sais pas la base de Lagrange, je pense que ca doit etre tres compliqué pour toi.
    Je ne dirais pas ca de rvz ni de guyem
    surtout que des gens comme lagrange (ou gauss par exemple) ont jete les bases de tellement de choses que juste dire "bases de lagrange" peut preter a confusion...

    Definis clairement ton probleme et tu auras surement des reponses qui t interessent

    ++

    Vlad

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