norme de forme linéaire

[invitefa636c3d]

bonsoir ,
j'ai une question que je n'arrive pas à traiter entièrement:
peut-être pourrez vous m'aider
sur E=C([0,1],R) (fonctions continues à valeurs dans R) muni du ps usuel on définit l'application u sur E par
u(f)=int (t^p f(t) dt) à prendre entre 0 et a (où 0<a<1 et p>=0 fixés)

pas de problème pour montrer que u est une forme linéaire
ensuite pour la continuité pas de problème non plus je pense: je trouve que |u(f)|<=(1/2p+1) ||f|| en majorant brutalement |u(f)|

mais je n'arrive pas à calculer |||u|||
la meilleure constante possible est-elle 1/(2p+1) si oui comment le montrer , je sais qu'il faut exhiber une fonction f qui verifie l'egalité mais laquelle prendre ?
sinon quelle est la meilleure constante ?

merci
jameso
-----

[moijdikssékool]

t^p < a^p
donc
|u(f)| < a^p*||f||

avec f = p/t, on a u(f) = int((t^(p-1))*p) = p/p*a^p = a^p

donc |||u||| = a^p, sauf erreur

[invitec314d025]

t^p < a^p
donc
|u(f)| < a^p*||f||

avec f = p/t, on a u(f) = int((t^(p-1))*p) = p/p*a^p = a^p

donc |||u||| = a^p, sauf erreur

tu n'aurais pas oublié la norme de f ?

[invitec314d025]

je trouve que |u(f)|<=(1/2p+1) ||f|| en majorant brutalement |u(f)|

peut-être un peu trop brutalement non ?
tu as intégré t^p entre 0 et 1, pourquoi pas entre 0 et a ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa636c3d]

matthias: pour pouvoir utiliser cauchy-schwartz
sinon j'ai oublié une racine sur 2p+1 : ça serait plutôt 1/sqrt(2p+1) je crois...

[invitec314d025]

oui j'ai vu pour la racine.
Pour Cauchy-Schwartz, il n'y a pas de problème, tu l'utilise d'abord entre 0 et a, puis tu étends l'intégrale concernant f jusqu'à 1 pour avoir la norme de f.
Dans ce cas, ce n'est plus exactement Cauchy-Schwartz (l'intégrale entre 0 et a ne correspond pas au produit scalaire), mais plutôt Schwartz-Minkowski (du moins c'est ce que disent mes vieux cours).

[invitec314d025]

Je ne sais pas si tu obtiendras le majorant obtimal comme ça, mais il parait peu probable que tu le trouve si tu te débarasse de a ....
Excuse moi pour la norme j'ai un peu la flemme, ça fait des années que j'ai pas touché à ces trucs là

[invitefa636c3d]

pour matthias ,j'ai plutôt dit que la somme de 0 à a de... est inférieure ou égale à la somme de 0 à 1 de ... (aires)
mais je ne sais toujours pas quelle est la meilleure constante possible malheuresement, quelle autre méthode suggères tu alors?


merci de ton aide matthias
amicalement
jameso

[invitec314d025]

un instant, je maîtrise par encore TeX ...

[invitec314d025]

[moijdikssékool]

effectivement, j'ai oublé la norme de f, il aurait fallu qu'elle soit égale à 1

<=
Cauchy_Schwartz
<= = ||f||

|u(f)| <= |||u|||.||f||

=

il faudrait trouver une fonction de norme 1 et tel que u(f) =

pour f = 1 (||f|| = 1), |u(f)| =

ben, c pa gagné... il fudrait que |u(f)| soit une racine...


en faisant <= 1, on arrive à |||u||| = 1 (avec f=1)

[invitefa636c3d]

merci de vos réponses matthias et moijdikssékool mais j'ai un peu de mal à suivre vos différents raisonnements...ce n'est pas super clair...

amicalement
james

[invitec314d025]

Il y a quelque chose de pas clair dans ma formule ?

[moijdikssékool]

j'ai dit des bêtises dans la dernière phrase

en résumé si tu crois que |||u||| est z, il te faut une fonction f de norme 1 tel que |u(f)| = z

mais vu ton z, qui dépend à priori de a, la fonction f à chercher n'est pas écrite sur la première page d'un journal

[invitefa636c3d]

matthias :dans ta formule je vois l'intégrale de 0 à a de f² ,n'est-ce pas, et moi j'aimerai bien voir apparaitre la norme euclidienne de f :integrale de 0 à 1 de f²...

sinon moijdikssékool je sais bien ce qu'il faut faire mais je ne sais toujours pas quelle est la norme de u et quelle fonction f choisir...

merci quand même
jameso

[moijdikssékool]

matthias :dans ta formule je vois l'intégrale de 0 à a de f² ,n'est-ce pas, et moi j'aimerai bien voir apparaitre la norme euclidienne de f :integrale de 0 à 1 de f²...

et ben lis mieux mon avant dernier post (4ème ligne)
au lieu du 1, tu auras un a

[invitec314d025]

et ben lis mieux mon avant dernier post (4ème ligne)
au lieu du 1, tu auras un a

ce qui correspond d'ailleurs au message 6.

Après, faut encore trouver une fonction ....
en considérant qu'on a le bon majorant ....

[invitefa636c3d]

ok les gars si vous voulez...
mais j'aimerai juste savoir clairement une chose avant de continuer:
pour vous |||u|||<= à quoi ,pour qu'on soit bien d'accord ?

amicalement
jameso

[moijdikssékool]

euh non... c'est
donc on a déjà une partie plus sympa de u(f) car
reste le ...

[invitec314d025]

pour l'instant :

[moijdikssékool]

j'enchaine les bourdes



ici, on va pas faire intervenir CS pour avoir la norme de f, mais juste une majoration (car a<1)...




donc

[invitefa636c3d]

ok mais matthias pourrais-tu donner ton théorème de "Schwartz-Minkowski"
car je j'en ai jamais entendu parler jusque là
peux-tu le poster ?

merci
jameso

[invitec314d025]

Je ne pense pas que ce soit nécessaire.
Si tu regardes bien tu verras que tu peux le montrer en utilisant Cauchy-Schwartz. Les bornes de l'intégrale ne sont pas importantes en fait. Il suffit d'imaginer les restrictions des fonctions à [0;a] => nouvel espace, nouveau produit scalaire.
Sous réserve de convergence, ça marche même avec des intégrales impropres.

[invite48af87b5]

Bonsoir à tous.

La norme triple à calculer dépend de la norme qu'on met sur l'espace de départ. Il faut d'abord être sûr qu'il s'agit bien de la norme L^2 qui est demandée dans l'énoncé.

La fonction u est de la forme f -> <h,f> (produit scalaire de h avec f) où h est la fonction t^p. Raisonne géométriquement : le produit scalaire de 2 vecteurs de longueur donnée est maximal quand ces vecteurs sont colinéaires. Donc ta fonction maximisante est ... f=h ! Et la norme triple de u est bien la norme L^2 de h que vous avez calculée.

[moijdikssékool]

bonne remarque, mais disons plutôt f = h/||h||, il faut que ||f|| = 1

[invitec314d025]

A priori normer f ne sert pas à grand chose.
Par contre, vous êtes sûrs que ça marche t^p ?
ça marcherait si U(f) était une intégrale de 0 à 1
A moins que je ne me sois gouré (c'est très possible), je dirais qu'il faudrait que f = t^p sur [0;a] et que l'intégrale de f.t^p sur [a;1] soit nulle (tout en gardant la continuité)

[invite48af87b5]

Par contre, vous êtes sûrs que ça marche t^p ?
ça marcherait si U(f) était une intégrale de 0 à 1
A moins que je ne me sois gouré (c'est très possible), je dirais qu'il faudrait que f = t^p sur [0;a] et que l'intégrale de f.t^p sur [a;1] soit nulle (tout en gardant la continuité)

Tu as raison, il faut prendre f nulle sur [a,1] ce qui l'empèche d'être continue... La fonction maximisante n'est donc pas continue (la fonction maximisante est unique dans L^2). Donc il faut ruser et prendre une suite de fonctions continues qui tendent pour la norme L^2 vers cette fonction discontinue (pas besoin de les prendre d'intégrale nulle sur [a,1]).

[invitec314d025]

oui, comme la norme est la borne supérieure des |u(f)|/||f||, on aura le résultat.

[moijdikssékool]

ça marcherait si U(f) était une intégrale de 0 à 1

comme la norme est la borne supérieure des |u(f)|/||f|| pour des f de norme 1 ()







ca n'oblige pas que t^p soit prolongée par 0 entre a et 1: (je prend f = h/||h||, la fonction de norme 1 avec laquelle le sup est atteint)

[invitec314d025]

mais nous on veut atteindre :



ce qui n'est pas la même chose.