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norme de forme linéaire



  1. #1
    jameso

    norme de forme linéaire


    ------

    bonsoir ,
    j'ai une question que je n'arrive pas à traiter entièrement:
    peut-être pourrez vous m'aider
    sur E=C([0,1],R) (fonctions continues à valeurs dans R) muni du ps usuel on définit l'application u sur E par
    u(f)=int (t^p f(t) dt) à prendre entre 0 et a (où 0<a<1 et p>=0 fixés)

    pas de problème pour montrer que u est une forme linéaire
    ensuite pour la continuité pas de problème non plus je pense: je trouve que |u(f)|<=(1/2p+1) ||f|| en majorant brutalement |u(f)|

    mais je n'arrive pas à calculer |||u|||
    la meilleure constante possible est-elle 1/(2p+1) si oui comment le montrer , je sais qu'il faut exhiber une fonction f qui verifie l'egalité mais laquelle prendre ?
    sinon quelle est la meilleure constante ?

    merci
    jameso

    -----

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  3. #2
    moijdikssékool

    Re : norme de forme linéaire

    t^p < a^p
    donc
    |u(f)| < a^p*||f||

    avec f = p/t, on a u(f) = int((t^(p-1))*p) = p/p*a^p = a^p

    donc |||u||| = a^p, sauf erreur

  4. #3
    matthias

    Re : norme de forme linéaire

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    t^p < a^p
    donc
    |u(f)| < a^p*||f||

    avec f = p/t, on a u(f) = int((t^(p-1))*p) = p/p*a^p = a^p

    donc |||u||| = a^p, sauf erreur
    tu n'aurais pas oublié la norme de f ?

  5. #4
    matthias

    Re : norme de forme linéaire

    Citation Envoyé par jameso
    je trouve que |u(f)|<=(1/2p+1) ||f|| en majorant brutalement |u(f)|
    peut-être un peu trop brutalement non ?
    tu as intégré tp entre 0 et 1, pourquoi pas entre 0 et a ?

  6. #5
    jameso

    Re : norme de forme linéaire

    matthias: pour pouvoir utiliser cauchy-schwartz
    sinon j'ai oublié une racine sur 2p+1 : ça serait plutôt 1/sqrt(2p+1) je crois...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : norme de forme linéaire

    oui j'ai vu pour la racine.
    Pour Cauchy-Schwartz, il n'y a pas de problème, tu l'utilise d'abord entre 0 et a, puis tu étends l'intégrale concernant f jusqu'à 1 pour avoir la norme de f.
    Dans ce cas, ce n'est plus exactement Cauchy-Schwartz (l'intégrale entre 0 et a ne correspond pas au produit scalaire), mais plutôt Schwartz-Minkowski (du moins c'est ce que disent mes vieux cours).

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  10. #7
    matthias

    Re : norme de forme linéaire

    Je ne sais pas si tu obtiendras le majorant obtimal comme ça, mais il parait peu probable que tu le trouve si tu te débarasse de a ....
    Excuse moi pour la norme j'ai un peu la flemme, ça fait des années que j'ai pas touché à ces trucs là

  11. #8
    jameso

    Re : norme de forme linéaire

    pour matthias ,j'ai plutôt dit que la somme de 0 à a de... est inférieure ou égale à la somme de 0 à 1 de ... (aires)
    mais je ne sais toujours pas quelle est la meilleure constante possible malheuresement, quelle autre méthode suggères tu alors?


    merci de ton aide matthias
    amicalement
    jameso

  12. #9
    matthias

    Re : norme de forme linéaire

    un instant, je maîtrise par encore TeX ...

  13. #10
    matthias

    Re : norme de forme linéaire


  14. #11
    moijdikssékool

    Re : norme de forme linéaire

    effectivement, j'ai oublé la norme de f, il aurait fallu qu'elle soit égale à 1

    <=
    Cauchy_Schwartz
    <= = ||f||

    |u(f)| <= |||u|||.||f||

    =

    il faudrait trouver une fonction de norme 1 et tel que u(f) =

    pour f = 1 (||f|| = 1), |u(f)| =

    ben, c pa gagné... il fudrait que |u(f)| soit une racine...


    en faisant <= 1, on arrive à |||u||| = 1 (avec f=1)

  15. #12
    jameso

    Re : norme de forme linéaire

    merci de vos réponses matthias et moijdikssékool mais j'ai un peu de mal à suivre vos différents raisonnements...ce n'est pas super clair...

    amicalement
    james

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  17. #13
    matthias

    Re : norme de forme linéaire

    Il y a quelque chose de pas clair dans ma formule ?

  18. #14
    moijdikssékool

    Re : norme de forme linéaire

    j'ai dit des bêtises dans la dernière phrase

    en résumé si tu crois que |||u||| est z, il te faut une fonction f de norme 1 tel que |u(f)| = z

    mais vu ton z, qui dépend à priori de a, la fonction f à chercher n'est pas écrite sur la première page d'un journal

  19. #15
    jameso

    Re : norme de forme linéaire

    matthias :dans ta formule je vois l'intégrale de 0 à a de f² ,n'est-ce pas, et moi j'aimerai bien voir apparaitre la norme euclidienne de f :integrale de 0 à 1 de f²...

    sinon moijdikssékool je sais bien ce qu'il faut faire mais je ne sais toujours pas quelle est la norme de u et quelle fonction f choisir...

    merci quand même
    jameso

  20. #16
    moijdikssékool

    Re : norme de forme linéaire

    Citation Envoyé par jameso
    matthias :dans ta formule je vois l'intégrale de 0 à a de f² ,n'est-ce pas, et moi j'aimerai bien voir apparaitre la norme euclidienne de f :integrale de 0 à 1 de f²...
    et ben lis mieux mon avant dernier post (4ème ligne)
    au lieu du 1, tu auras un a
    Dernière modification par moijdikssékool ; 25/02/2005 à 22h37.

  21. #17
    matthias

    Re : norme de forme linéaire

    Citation Envoyé par moijdikssékool
    et ben lis mieux mon avant dernier post (4ème ligne)
    au lieu du 1, tu auras un a
    ce qui correspond d'ailleurs au message 6.

    Après, faut encore trouver une fonction ....
    en considérant qu'on a le bon majorant ....

  22. #18
    jameso

    Re : norme de forme linéaire

    ok les gars si vous voulez...
    mais j'aimerai juste savoir clairement une chose avant de continuer:
    pour vous |||u|||<= à quoi ,pour qu'on soit bien d'accord ?

    amicalement
    jameso

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  24. #19
    moijdikssékool

    Re : norme de forme linéaire

    euh non... c'est
    donc on a déjà une partie plus sympa de u(f) car
    reste le ...

  25. #20
    matthias

    Re : norme de forme linéaire

    pour l'instant :


  26. #21
    moijdikssékool

    Re : norme de forme linéaire

    j'enchaine les bourdes



    ici, on va pas faire intervenir CS pour avoir la norme de f, mais juste une majoration (car a<1)...




    donc

  27. #22
    jameso

    Re : norme de forme linéaire

    ok mais matthias pourrais-tu donner ton théorème de "Schwartz-Minkowski"
    car je j'en ai jamais entendu parler jusque là
    peux-tu le poster ?

    merci
    jameso

  28. #23
    matthias

    Re : norme de forme linéaire

    Je ne pense pas que ce soit nécessaire.
    Si tu regardes bien tu verras que tu peux le montrer en utilisant Cauchy-Schwartz. Les bornes de l'intégrale ne sont pas importantes en fait. Il suffit d'imaginer les restrictions des fonctions à [0;a] => nouvel espace, nouveau produit scalaire.
    Sous réserve de convergence, ça marche même avec des intégrales impropres.

  29. #24
    hedron

    Re : norme de forme linéaire

    Bonsoir à tous.

    La norme triple à calculer dépend de la norme qu'on met sur l'espace de départ. Il faut d'abord être sûr qu'il s'agit bien de la norme L^2 qui est demandée dans l'énoncé.

    La fonction u est de la forme f -> <h,f> (produit scalaire de h avec f) où h est la fonction t^p. Raisonne géométriquement : le produit scalaire de 2 vecteurs de longueur donnée est maximal quand ces vecteurs sont colinéaires. Donc ta fonction maximisante est ... f=h ! Et la norme triple de u est bien la norme L^2 de h que vous avez calculée.

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  31. #25
    moijdikssékool

    Re : norme de forme linéaire

    bonne remarque, mais disons plutôt f = h/||h||, il faut que ||f|| = 1

  32. #26
    matthias

    Re : norme de forme linéaire

    A priori normer f ne sert pas à grand chose.
    Par contre, vous êtes sûrs que ça marche tp ?
    ça marcherait si U(f) était une intégrale de 0 à 1
    A moins que je ne me sois gouré (c'est très possible), je dirais qu'il faudrait que f = tp sur [0;a] et que l'intégrale de f.tp sur [a;1] soit nulle (tout en gardant la continuité)

  33. #27
    hedron

    Re : norme de forme linéaire

    Citation Envoyé par matthias
    Par contre, vous êtes sûrs que ça marche tp ?
    ça marcherait si U(f) était une intégrale de 0 à 1
    A moins que je ne me sois gouré (c'est très possible), je dirais qu'il faudrait que f = tp sur [0;a] et que l'intégrale de f.tp sur [a;1] soit nulle (tout en gardant la continuité)
    Tu as raison, il faut prendre f nulle sur [a,1] ce qui l'empèche d'être continue... La fonction maximisante n'est donc pas continue (la fonction maximisante est unique dans L^2). Donc il faut ruser et prendre une suite de fonctions continues qui tendent pour la norme L^2 vers cette fonction discontinue (pas besoin de les prendre d'intégrale nulle sur [a,1]).

  34. #28
    matthias

    Re : norme de forme linéaire

    oui, comme la norme est la borne supérieure des |u(f)|/||f||, on aura le résultat.

  35. #29
    moijdikssékool

    Re : norme de forme linéaire

    ça marcherait si U(f) était une intégrale de 0 à 1
    comme la norme est la borne supérieure des |u(f)|/||f|| pour des f de norme 1 ()







    ca n'oblige pas que t^p soit prolongée par 0 entre a et 1: (je prend f = h/||h||, la fonction de norme 1 avec laquelle le sup est atteint)


  36. #30
    matthias

    Re : norme de forme linéaire

    mais nous on veut atteindre :



    ce qui n'est pas la même chose.

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