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Norme d´une application linéaire



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    Norme d´une application linéaire


    ------

    bonjour,

    je lis un théorème que je ne comprend pas:

    Soient E,F et G trois espaces vectoriels normés. Soient f application linéaire de E vers F et g, application linéaire de F vers G. Alors l´application composée g o f vérifie:

    Norm[gof] <= Norm[g] . Norm[f]

    Mon problème c´est que je ne vois pas trop de quelle norme il s´agit. Comme démonstration il y a simplement:

    pour tout x norm[f(x)] <= Norm[f].Norm[x]

    De quelle norme l´espace vectoriel des applications linéaires entre deux espaces vectoriels est-il muni?

    Merci d´avance

    Christophe

    -----

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  4. #2
    Ledescat

    Re : Norme d´une application linéaire

    Bonsoir.

    Pour toute application linéaire continue, on a (et c'est même une CNS de continuité pour des applications linéaires) :



    (remarque bien la place des quantificateurs, c'est un M qui fonctionne pour tout x).

    Alors, on note:



    ( x non nul).
    La norme de f (appelée norme "triple barre") est le sup des M qui fonctionnent.
    Cogito ergo sum.

  5. #3
    ThSQ

    Re : Norme d´une application linéaire

    Citation Envoyé par Ledescat Voir le message
    La norme de f est le sup des M qui fonctionnent.
    L'inf plutôt non ?

  6. #4
    Ledescat

    Re : Norme d´une application linéaire

    Oui !

    Comme (x non nul) est borné non vide, on note |||f|||=sup(A).

    Et celui-ci étant le plus petit des majorants, il correspond bien au plus petit M qui fonctionne.

    Ouf !


    Merci de la rectification.
    Cogito ergo sum.

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  8. #5
    christophe_de_Berlin

    Re : Norme d´une application linéaire

    Ah ben merci, apparement j´avais une lacune, je sais pas du tout où on voit ça! Je suis en L3 maths mais j´ai "sauté" L1, donc je suppose qu´on voit ça en première année?!

    Ou la la! j´ai honte...

  9. #6
    invite986312212
    Invité

    Re : Norme d´une application linéaire

    c'est aussi le supremum des normes des éléments de l'image de la sphère unité.
    et non, de mon temps on voyait ça plutôt en licence (L3) qu'en première année.

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