Norme d´une application linéaire

[invitee75a2d43]

bonjour,

je lis un théorème que je ne comprend pas:

Soient E,F et G trois espaces vectoriels normés. Soient f application linéaire de E vers F et g, application linéaire de F vers G. Alors l´application composée g o f vérifie:

Norm[gof] <= Norm[g] . Norm[f]

Mon problème c´est que je ne vois pas trop de quelle norme il s´agit. Comme démonstration il y a simplement:

pour tout x norm[f(x)] <= Norm[f].Norm[x]

De quelle norme l´espace vectoriel des applications linéaires entre deux espaces vectoriels est-il muni?

Merci d´avance

Christophe
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[invitec053041c]

Bonsoir.

Pour toute application linéaire continue, on a (et c'est même une CNS de continuité pour des applications linéaires) :



(remarque bien la place des quantificateurs, c'est un M qui fonctionne pour tout x).

Alors, on note:



( x non nul).
La norme de f (appelée norme "triple barre") est le sup des M qui fonctionnent.

[invite2c3ff3cc]

La norme de f est le sup des M qui fonctionnent.

L'inf plutôt non ?

[invitec053041c]

Oui !

Comme (x non nul) est borné non vide, on note |||f|||=sup(A).

Et celui-ci étant le plus petit des majorants, il correspond bien au plus petit M qui fonctionne.

Ouf !


Merci de la rectification.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

Ah ben merci, apparement j´avais une lacune, je sais pas du tout où on voit ça! Je suis en L3 maths mais j´ai "sauté" L1, donc je suppose qu´on voit ça en première année?!

Ou la la! j´ai honte...

[invite986312212]

c'est aussi le supremum des normes des éléments de l'image de la sphère unité.
et non, de mon temps on voyait ça plutôt en licence (L3) qu'en première année.