Ptit exo équation fonctionnelle

[invitefc60305c]

Bonsoir.
Voilà un exo (oral Centrale) ou j'ai du mal. Je sollicite donc votre aide svp

Soit f:R->R continue tq f(x)=f(2x-2)
Mq f constante.

J'aurai juste besoin d'un ptit indice pour débuter
-----

[invitec053041c]

Bonsoir.

Le sens f(x)=f(2x-2)=f(2(2x-2)-2)... n'est pas vraiment intéressant, car ce qu'il y a dans le f( ) diverge a priori (on a du 2^n).

Regarde-donc l'équation à l'envers, en posant t=2x-2... .

Tu vas avoir un 1/2, qui itéré a tendance à...s'écraser vers 0.

Après, il faudra penser à utiliser la caractérisation séquentielle (en terme de suites) de la continuité.


Cordialement.

[invitea3eb043e]

Tu peux te simplifier la vue en remarquant que la suite u_(n+1) = 2 u_n -2 converge vers 2. C'est ça qu'il y a dans la fonction f.
Ca donne envie de poser u = x-2 donc f(u+2) = f(2u + 2) et si on pose g(u)=f(u+2) en décalant les origines, on arrive à quelque chose de plus clair :
g(u) = g(2u) qui doit être montrée constante.
Tu pars d'un u arbitraire, soit a et tu réitères, ça t'amène toujours dangereusement près de u = zéro.
C'est la même idée que Ledescat, évidemment, juste la formulation est plus simple.