Le bra <x| n'est pas une forme linéaire continue ?

[invite5e34a2b4]

Bonjour à tous,

Voilà, tout d'abord, je voudrais pousser un coup de gueule en ce qui concerne les cursus universitaire de physique en France. La plupart des choses qu'on fait en maths ne nous sert à rien pour les cours de Physique, et évidemment, les maths qu'on a besoin pour comprendre les cours de Physique ne sont pas étudiées.

Bref. Rien que pour comprendre mathématiquement le début de cours de Physique Quantique, c'est l'horreur. Alors, peut-être qu'on a pas besoin de tout comprendre, mais voilà, j'aime bien savoir que ce que je fais, part à partir de bases solides.

Pour en venir à mon problème : j'ai trouvé qu'un certain théorème (de Riesz) dit qu'un espace de Hilbert est isomorphe à son espace dual topologique (ensemble des formes linéaires continues sur l'espace de Hilbert en question).

Or, voici mon problème :
- le bra qui à un vecteur associe est pour moi bien une forme linéaire.
- le ket qui lui serait associé serait la distribution de Dirac si elle appartenait dans à l'espace de Hilbert des fonctions d'onde. Or ce n'est pas le cas.

C'est que donc la forme linéaire n'est pas continue. Or j'arrive pas à voir pourquoi.
Y a-t-il une erreur dans ce que je raconte ?

Merci d'avance pour votre aide.
-----

[invitedbd9bdc3]

Bonjour,

je suis de loin beaucoup plus physicien que mathematicien, mais un element de reponse est peut etre que la base |r> a un statut assez particulier, justement par ce que <x'|x> = delta(x-x') qui n'est pas une fonction de carré sommable.

Il y a un gros pavé la dessus dans le Cohen, qui d'ailleur est un tres bon complement pour tes cours de MQ (surtout niveau math, avec plein de theoreme prouvé, et des definition plus propre que ce qui se fait habituelement en amphi).

[invitec859637e]

Bonsoir,

Je pense pouvoir apporter un élément de réponse (enfin je vais essayer )
J'appelle x la fonction qui à associe .
Elle est linéaire donc elle est continue si et seulement si elle est continue en 0 (la fonction nulle donc).
La relation de continuité en 0 peut s'écrire :
,
Donc si elle n'est pas continue en 0 cela signifie :
, et

Ici bien sûr la norme pour est la norme 2-intégrale.
On peut prendre x=0 (je me place en une dimension).
On voit bien que l'on peut prendre une fonction continue, "centrée en 0" dont la norme est aussi petite que l'on veut mais qui peut prendre une valeur aussi grande que l'on veut en 0 (par exemple une fonction qui vaut sur autour de l'origine, et en lissant le tout pour qu'elle soit continue).
Donc la fonction x n'est pas continue (sur l'espace des fonctions continues).
Bon désolé c'est un peu avec les mains mais j'espère que ça t'éclaire un peu ...

[inviteb94c567e]

Il n'y a pas erreur, car on ne travaille pas avec l'integrale de Reimann mais sur avec les integrale de Lebesque

«En mathématiques dans la branche de l'analyse réelle, l'intégrale de Lebesgue est une intégrale représentative d'une théorie qui étend la notion d'intégrale représentant l'aire du domaine sous la courbe d'une fonction pas forcément définie sur R.»

C'est le cas du delta de Dirac par exemple, et de bien d'autre fonction qui sont la limite d'une fonction continue (sans l'etre) , c'est l'ajout du calcul integrale classique au distribution comme le point , les surfaces, les lignes, dans le calcul integrale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Y a-t-il une erreur dans ce que je raconte ?

Ben tout de même, il faut choisir : cursus de math ou de physique.... on ne peut pas tout étudier.
on pourrai aussi dire qu'on est incapable de décrire le cheminement de l'émergence de na théorie Galliléenne car en histoire des sciences on est nul...
Il faut faire des choix, on ne peut pas tout savoir. Ce qui n'est pas enseigné... il reste les bouquins.

Quant à ta question principale je ne pourrai pas te répondre, je suis dans le même cas que toi mais si un jour je devrai me poser la question, je bouquinerai...

Cordialement

[invite5e34a2b4]

Bonsoir,

Je pense pouvoir apporter un élément de réponse (enfin je vais essayer )
J'appelle x la fonction qui à associe .
Elle est linéaire donc elle est continue si et seulement si elle est continue en 0 (la fonction nulle donc).
La relation de continuité en 0 peut s'écrire :
,
Donc si elle n'est pas continue en 0 cela signifie :
, et

Ici bien sûr la norme pour est la norme 2-intégrale.
On peut prendre x=0 (je me place en une dimension).
On voit bien que l'on peut prendre une fonction continue, "centrée en 0" dont la norme est aussi petite que l'on veut mais qui peut prendre une valeur aussi grande que l'on veut en 0 (par exemple une fonction qui vaut sur autour de l'origine, et en lissant le tout pour qu'elle soit continue).
Donc la fonction x n'est pas continue (sur l'espace des fonctions continues).
Bon désolé c'est un peu avec les mains mais j'espère que ça t'éclaire un peu ...

Ok merci beaucoup (désolé d'avoir pris du temps à te répondre, mais j'étais occupé ). Je crois avoir compris. Et finalement, c'est un peu contre-intuitif.
Donc si j'ai bien compris :
parce que le résultat dépend de comment tend vers . Et en fait, tout repose sur la définition (mathématique) de l'expression "tendre vers" : parce que pour moi, tendre vers , ça veut dire tendre vers un "vecteur" qui a toutes les mêmes propriétés que , mais apparemment la définition est moins restrictive : une suite de vecteurs tend vers un autre si la distance avec lui tend vers 0.
Et on peut trouver une suite qui tend vers un vecteur dont la distance avec est 0 (la suite des lissée dont tu parles) et dont l'image ne tend pas vers . CQFD.

Est-ce que c'est ça ? Bon, moi aussi j'explique avec les mains, mais j'espère avoir bien compris mdr. Parce que bon, comme dit, je suis en M1, et pourtant j'ai jamais vraiment vu les suites de Cauchy, la convergence de suite etc. Donc, si je raconte des âneries, excusez-moi lol.

Merci encore !!

[invitec859637e]

Salut !

parce que pour moi, tendre vers , ça veut dire tendre vers un "vecteur" qui a toutes les mêmes propriétés que

Justement, on a besoin de définir ce qu'on entend par le verbe "tendre".
Dans un espace topologique quelconque, une fonction f a pour limite y en x si pour tout voisinnage V de y, il existe un voisinnage W de x tel que f(W\{x}) soit inclus dans V.
Quand on dispose d'une métrique, cette définition est équivalente à "on peut s'approcher autant que l'on veut de y en s'approchant de x" ; c'est à dire que pour tout aussi petit que l'on veut, il va exister un tel que pour tout vérifiant on aura .
Dans un espace métrique, la notion de limite dépend donc fortement de la distance choisie. On peut s'amuser à construire des distances exotiques ou une suite converge pour une distance mais pas pour une autre.
Désolé pour la parenthèse


Pour en revenir un peu plus au sujet

parce que le résultat dépend de comment tend vers .

Non, car en fait on peut intervertir une limite et son application si l'application est continue, ce qui est le cas du produit scalaire.
Ici on a bien phi qui tend vers 0 au sens de la norme 2.
Mais il faut évaluer la norme de , et x est une application de l'espace des fonctions dans , donc il faut prendre la norme sur , c'est à dire

Ce qui doit te gêner c'est que la norme d'une fonction tende vers 0 sans que la fonction tende vers 0 (dans notre cas, on pourra avoir phi qui tend vers la fonction qui vaut phi(0) non nul en 0, et 0 ailleurs).
Une telle fonction n'appartient a priori pas à l'espace de départ (fonctions continues), c'est parce que l'espace des fonctions continues
n'est pas complet (même pas fermé d'ailleurs) pour la norme 2.

Pour remédier à ça en gros on créé une classe d'équivalence et on associe toutes les fonctions qui sont "égales presque partout".


Bref, au final le mieux est toujours de revenir au définitions (ici la continuité ou non de la fonction x). C'est vrai que c'est un peu bizarre car elle est linéaire mais non continue ^^ (parce que l'espace de départ est de dimension finie).


En espérant avoir été (au moins un peu ) clair...

[invitec859637e]

(parce que l'espace de départ est de dimension finie).

Je voulais dire de dimension infinie bien sûr.

[invitea29d1598]

je n'ai pas lu de près ce fil ni relu la réf que je vais donner , mais voici néanmoins un article intéressant qui sera peut-être utile à ceux qui ne le connaissent pas déjà :

Formalisme de Dirac et surprises mathematiques en mecanique quantique par F. Gieres

[invite63840053]

Tiens, c'est mon prof de mécanique analytique qui a écrit cet article.
Il a l'air pas mal en plus, merci.