Soit u un endormorphisme dedans
Voilà comment j'ai procédé : Soit
Cette démonstration m'a l'air trop simple , pourriez-vous me dire si elle est juste , à moitié ou complètement hors-sujet. Merci
tu as montré que u(p)=q=0
ce qu'il faut montrer c'est que p=0
et pis après il y a la réciproqe bien qu'elle soit évidente
Tu veux dire que Ker(u) inter Im(u) ={0E} ??Envoyé par vince3001
Comme u(p)=0 implique que u(p)=u(0[IND]E[IND]) equivaut u(p)-u(0)=0 comme u est endomorphisme on a u(p-0)=0[IND]F[IND] , equivaut p-0=0 donc p=0[IND]E[IND].Fin .
Que pensez-vous de cette démo ? Encore faux ????
Non ceci supposerait que u est injectif mais dans ce cas l'intersection est trivialement réduite à {e} puisque le noyau l'est déjà.
Maintenant, ta question est sans doute issue d'un exercice où u n'est pas un endomorphisme quelconque car ker(u) inter Im(u)={e} est "en général" faux.
Par contre (et l'utilisation de la lettre "p" au lieu du classique "x" le laisse aussi à penser) le résultat est un classique si u est une projection : u²=u.
Si u est en effet un projecteur. On peut partir d'un élément de l'image y qui peut donc s'écrire y=u(x) pour un certain x dans E, on dit ensuite qu'il est aussi dans ker(u) tu as u(y)=0 et là les faits que y=u(x) et u²=u aident à conclure que y=e.
Effectivement j'avais raison.
Mais est ce qu'on peut montrer de manière général que l'intersection du noyau et de l'image d'un endomorphisme est réduite au vecteur 0 ?
Oui cette question est une partie d'un exercice.
Aencore une question c'est quoi le {e} ?
Oui cette question est une partie d'un exercice.
C'est une coquille, il faut lire {0}.
Non, puisque c'est faux, contre-exemple : l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de R² est :
Son noyau et son image est R.e1 (e1 le vecteur de coordonnées (1,0) dans la base canonique), l'intersection est donc R.e1 et non {0}.
Vu ce qui précède u n'est donc pas un endomorphisme quelconque et vérifie donc certaines propriétés dans cet exercice, lesquelles ?Oui cette question est une partie d'un exercice.
.............................. .............................. .............................. ...Oui cette question est une partie d'un exercice.
C'est une coquille, il faut lire {0}.
Non, puisque c'est faux, contre-exemple : l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de R² est :
Son noyau et son image est R.e1 (e1 le vecteur de coordonnées (1,0) dans la base canonique), l'intersection est donc R.e1 et non {0}.
Vu ce qui précède u n'est donc pas un endomorphisme quelconque et vérifie donc certaines propriétés dans cet exercice, lesquelles ?
L'endomorphisme s'ecrit u(p)= P+(1-X)P' avec P étant un polynome deOui cette question est une partie d'un exercice.
C'est une coquille, il faut lire {0}.
Non, puisque c'est faux, contre-exemple : l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de R² est :
Son noyau et son image est R.e1 (e1 le vecteur de coordonnées (1,0) dans la base canonique), l'intersection est donc R.e1 et non {0}.
Vu ce qui précède u n'est donc pas un endomorphisme quelconque et vérifie donc certaines propriétés dans cet exercice, lesquelles ?
J'ai une base de ker et Im de u , ensuite on me demande de montrer que le noyau et l'image sont supplémentaires.
En général c'est facile mais j'ai du mal à comprendre les supplémentaires quand c'est plus concret.
OK, donc tu trouves un noyau de dimension 1 et une image de dimension 3, il suffit de montrer que si on prend les vecteurs d'une base du premier et une base du second alors ces 4 vecteurs forment une base de R3[X] (il suffit de montrer qu'ils sont libres ou qu'ils sont générateurs).L'endomorphisme s'ecrit u(p)= P+(1-X)P' avec P étant un polynome de
J'ai une base de ker et Im de u , ensuite on me demande de montrer que le noyau et l'image sont supplémentaires.
En général c'est facile mais j'ai du mal à comprendre les supplémentaires quand c'est plus concret.
Merci Gyu !!
