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quand noyau et image sont en somme directe



  1. #1
    Romain-des-Bois

    quand noyau et image sont en somme directe


    ------

    Bonjour à tous,

    mon deuxième topic de la journée en maths (j'abuse là, non ? )

    j'aimerais avoir une petite précision :

    tout d'abord, je note : + la somme directe

    On n'a presque jamais : E= Kerf + Imf

    par contre, dès fois c'est le cas et c'est bien utile. Je l'ai démontré pour les projecteurs (on a la somme des dimensions qui vaut la dimension de E et l'intersection qui est triviale).

    ma question : faut-il se poser la question s'il y a d'autres applications qui vérifient cette somme directe égale à l'ev ? (j'entends par là, est-ce que c'est quelque chose à savoir et qui peut être utile dans des exos et qu'on ne nous demanderait pas de démontrer...)


    merci

    Romain

    -----

  2. #2
    rvz

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    Salut,

    Non, tu n'abuses pas, rassure toi, on a déjà vu pire

    Effectivement, ce que tu dis est vrai pour les projecteurs. Il est bon de pouvoir retrouver des propriétés semblables sur des objets construits à partir des projecteurs, par exemple les symétries, où tu as que Ker(I- S) et Ker(I+S) sont en somme directe.

    A part cela, je pense qu'en général, on préférerai te faire démontrer une version faible du lemme des noyaux, ou carrément le lemme des noyaux en te guidant un peu.

    Si tu veux lire la preuve, une petite recherche google ou wiki devrait te renseigner. Il est bon de connaître un peu les propriétés de base d'anneau euclidien de K[X] pour comprendre la preuve.

    __
    rvz

  3. #3
    martini_bird

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    Salut,

    tu as toujours avec (en dimension finie), ce qui donne en particulier . Mais attention, même dans le cas où f est un endomorphisme, tu n'as pas forcément : par exemple dans muni d'une base soit f telle que et ; alors .

    Cordialement.

    EDIT : grillé par rvz.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #4
    Romain-des-Bois

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    merci à tous les deux...

    c'est tout ce que je voulais savoir


    Romain

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Coincoin

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    Salut,
    Juste une question pour Martini : que veut dire ?
    Encore une victoire de Canard !

  7. #6
    Romain-des-Bois

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    Citation Envoyé par Coincoin Voir le message
    Salut,
    Juste une question pour Martini : que veut dire ?

    Pour moi, ça veut dire que V et Im(f) sont isomorphes de manière canonique.



    Romain

  8. #7
    rvz

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    Citation Envoyé par Coincoin Voir le message
    Salut,
    Juste une question pour Martini : que veut dire ?
    Ca veut dire que V est isomorphe à Im(f) (isomorphisme d'espaces vectoriels). En fait, c'est très simple à démontrer. Si tu prends f un morphisme de E dans F, alors tu peux définir g sur par g(x#) = f(x), où x est un représentant de la classe d'équivalence de x#. Tu t'aperçois sans difficulté que g est bien défini, et que c'est un isomorphisme de E# sur Im(f).
    Pour finir, un petit argument bien intuitif pour dire que si tu prends n'importe quel espace V en somme directe avec Ker(f), alors V et E# sont isomorphes.

    Conclusion : V est isomorphe à Im(f).

    __
    rvz, qui aime beaucoup cet argument

  9. #8
    martini_bird

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Pour moi, ça veut dire que V et Im(f) sont isomorphes de manière
    Salut,

    oui, celà veut dire qu'il y a un isomorphisme entre l'image de f et un sous-espace V de E. Le "canonique" est p'tet de trop ici : il y a plusieurs isomorphismes possibles en général. Mais bon, comme ça sonne bien, certains profs font de la "canonite"...

    Cordialement.

    EDIT : croisement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  10. #9
    Coincoin

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    Ok, merci, je connaissais pas la notation.
    Encore une victoire de Canard !

  11. #10
    Romain-des-Bois

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,

    oui, celà veut dire qu'il y a un isomorphisme entre l'image de f et un sous-espace V de E. Le "canonique" est p'tet de trop ici : il y a plusieurs isomorphismes possibles en général. Mais bon, comme ça sonne bien, certains profs font de la "canonite"...

    Cordialement.

    EDIT : croisement.
    Mon prof notait le "isomorphe" comme ça : ~


    et le "isomorphe canonique" comme ça :



    d'où ma réponse ...


    Romain

  12. #11
    martini_bird

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    d'où ma réponse ...
    Ah ok, je n'ai jamais vu cette distinction mais pourquoi pas. Perso, j'emploie (et j'ai lu employé) indifféremment , , ou ou encore : de toute façon, le contexte indique clairement de quoi on parle.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  13. #12
    Scorp

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    Je ne connais pas la notion de "classe d'équivalence", donc j'ai un peu de mal à comprendre la démonstration de rvz. Donc pour moi, c'est tout simplement la conséquence du théorème fondamentale pour les images et noyau (je ne suis pas sur du nom, enfin bref...) qui dit que pour toute application f linéaire de E vers F, f induit un isomorphisme (f restreint à corestreint à Im(f) ) de tout supplémentaire de ker(f) dans E sur Im(f)
    En tout cas, je ne connaissais pas la notation (c'est une notation "officielle" ou pas ?)

  14. #13
    rvz

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    Citation Envoyé par Scorp Voir le message
    Je ne connais pas la notion de "classe d'équivalence", donc j'ai un peu de mal à comprendre la démonstration de rvz. Donc pour moi, c'est tout simplement la conséquence du théorème fondamentale pour les images et noyau (je ne suis pas sur du nom, enfin bref...) qui dit que pour toute application f linéaire de E vers F, f induit un isomorphisme (f restreint à corestreint à Im(f) ) de tout supplémentaire de ker(f) dans E sur Im(f)
    En tout cas, je ne connaissais pas la notation (c'est une notation "officielle" ou pas ?)
    Pour compléter.
    Quant tu as deux ev A et B avec B inclus dans A, tu peux définir la relation d'équivalence x ~y ssi x-y est dans B.
    La classe d'équivalence x# est l'ensemble des éléments y tels que x~y.
    Tu t'aperçois alors que C = {x#, x dans A} est muni d'une structure d'espace vectoriel, et que C est isomorphe à tout supplémentaire S de B dans A par l'application i(x) = x#.

    D'une certaine manière, cette notion est la seule vraiment canonique de supplémentaire (tant que tu n'as pas de structure d'ev euclidien auquel cas tu as le supplémentaire orthogonal). C'est pourquoi je l'affectionne tout particulièrement.

    __
    rvz

  15. #14
    Scorp

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    ok, merci pour ces précisions

  16. #15
    joel1313

    Re : quand noyau et image sont en somme directe

    Bonjour j'ai une question en lien sur ce sujet...

    soit f: M --**>M une application linéaire telle que f^2 = 2 (f composé avec f = f )

    montrer que M = noyau f + image f (+ étant somme directe)

    Je n'arrive pas à montrer que M est compris dans noyau f + image F

    Merci de votre aide
    Joel

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