Etude de fonction

[c_matthieu]

Bonjour pourriez-vous m'aider pour uin exercice ?

f(x)=e^{cos(x)+sin2(x))}
Calculer la dérivée de f et étudier son signe sur l'intervalle [0,2pi].

*la dérivée que j'ai calculé f'(x)=-sinx+2sinxcosx e^{cos(x)+sin2(x))}

et pour étudier son signe... ?
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[inviteeb56caec]

Je ne suis pas d'accord sur ton dérivée, j'ai trouvé :
f'(x)=-sin(x)e^(cos(x))+2cos(x)sin(x)
De plus [0.2pi] n'est pas un intervalle, c'est un point, il faut 2 points pour avoir un intervalle.
Bon courage

[inviteeb56caec]

la dérivée de exp(f) : f'exp(f)

[c_matthieu]

Alors pour la dérivée:

en sachant que (u^2)'=2uu' (pour le sin^2(x) )
et comme tu dis que (e^u)'=u'e^u

e^(cosx+sin^2x)
u(x)=cosx+sin^2x
u'(x)=-sinx+2sinxcosx
alors f'(x)=-sinx+2sinxcosx e^(cosx+sin^2x)

Si [0,2pi] est un intervalle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeb56caec]

alors t'ai oublié des parenthèses partout
dans ce cas f=e^(cos(x)+sin^2(x))
f'=(-sin(x)+2sin(x)cos(x))e^(cos(x) +sin^2(x)). si tu mets pas les parenthèses correctement, on risque de mal comprendre.
D'autre part, tu dis que [0.2pi] est un intervalle, dit-moi alors que c'est de quel point à quel point.
Exemple: [2,5] c'est l'intervalle entre le point 2 et le point 5.

[c_matthieu]

D'accord bon est ok pour la dérivée alors.
2pi est un nombre comme les autres...
Tu peux avoir un intervalle de [-pi,pi] par exemple.

[inviteeb56caec]

Je m'excuse pour l'intervalle, [0, 2pi] est vraiment un intervalle, c'est parce que j'ai l'habitude de voir 2π.

Alors, pour la fonction f=e^(cosx+sin^2(x)), son signe est toujours positif, quelle que soit la valeur de (cos(x)=sin^2(x)), car l'exponentiel est une fonction croissante et positive, donc cest: R -> ] 0, +oo[.
Donc cette fonction est positive constamment.

Si tu trouve que je n'ai pas bien expliqué, je te conseille de relire les cours de terminale

Bon courage.

[c_matthieu]

Je suis tout à fait d'accord avec toi pour ce que tu me dis pour l'exponentielle sauf que la question c'est de trouver le signe de la dérivée sur cette intervalle alors si tu pouvais m'aider ?.

[inviteeb56caec]

Quant au signe de la dérivée de la fonction:
f'=(-sinx+2sin(x)cos(x))e^(cos(x)+s in^2(x))=(sinx(2cosx-1))e^(cos(x)+sin^2(x)), on s'interesse uniquement à (sinx(2cosx-1)),
2cosx-1>0
cosx>1/2
alors,x=]0,pi/3[, sur cette intervalle le signe de cos et sin est positif. Puis on étudie le cas contraire, c'est à dire le signe de cos et sin est negatif(negatif * negatif=positif)
cosx<1/2 et sinx<0 dans ce cas x=]pi, 5pi/3[
Donc ,f' > 0 alor, x=]0, pi/3[u]pi, 5pi/3[
f'=o , x=0, pi/3, 5pi/3 et 2pi
f'<0 , x=]pi/3,pi[u]5pi/3, 2pi[

Alors vérifie bien si j'ai fait des érreurs

[inviteeb56caec]

f'<0 x=]pi/3, pi]u]5pi/3, 2pi[

[c_matthieu]

Ah merci je comprend mieux =] !. Mais est ce que tu pourrais m'expliquer plus en détail parce que je ne vois pas qd tu fais les deux cas comment tu arrives par la suite a dire il est positif sur cette portion etc...

Per exemple quand je vais faire mon tableau:

x 0 pi/3 pi 5pi/3 2pi
sinx + + - -
2cosx-1 ? ? ? ?


Parce que pour le signe on le voit avec un cercle trigo non ? par exemple le sinus est positif sur la portion [0,pi] et négatif sur ]pi,2pi] non ? et je vois pas pour le 2cosx-1

[c_matthieu]

Mince dans mon mess précedent j'avais mit des espaces pour que tu comprennes mon tableau mais tout c resseré.

[inviteeb56caec]

on avait trouvé la dérivée : f'=(-sinx+2sin(x)cos(x))e^(cos(x)+s in^2(x)), on sai que la fonction exponentielle est tjr positive, donc on s'interesse uniquement au signe de (-sinx+2sin(x)cos(x)).
commençons par metter sinx en facteur:
sinx(-1+2cos(x)) ok?
ensuite on traîte les 2 cas pour avoir le signe positif de la dérivée:1) sinx et (-1+2cos(x)) sont positifs. 2)Ils sont tous négatifs (negatif * negatif = positif)
2cosx-1>0
2cosx>1
cosx>1/2
avec le cercle trigo cos(pi/3)=1/2
alors x<arcos(1/2)
x<pi/3
Lorsque x=]0,pi/3[ ,(-1+2cos(x))>0 et sinx>0, puis on traîte le 2eme cas:
(-1+2cos(x))<0
cosx<1/2
x=]pi/3, 5pi/3[, mais sinx<0 lorsque x=]pi, 2pi[, donc on prend l'intervalle ]pi, 5pi/3[. Finalement on unit les 2 intervalle :
x=]0, pi/3[u]pi, 5pi/3[ pour que f'>0.

Lorsque x=0 , sinx=0 la dérivée s'annulle
x=pi/3, 2cosx-1=0 idem
x=5pi/3, 2cosx-1=0 idem
x=2pi, sinx=0 idem

le reste est l'intervalle sur lequel la dérivée est négative.

[c_matthieu]

Pour le 1er cas tu passes de cos(x)>1/2 à x<pi/3 ( C'est pas la correspondance des valeurs et des angles qui me gène mais de supérieur tu passes à inférieur pourquoi ?

[inviteeb56caec]

Pour le 1er cas tu passes de cos(x)>1/2 à x<pi/3 ( C'est pas la correspondance des valeurs et des angles qui me gène mais de supérieur tu passes à inférieur pourquoi ?

Sur [0, 2/pi] cosx est décroissante: cos(0)=1
cos(pi/6)=racine(3)/2 ,cos(pi/3)=1/2, cos(pi/2)=0
donc il faut prendre ]o, pi/3[ pour que cosx>1/2

[c_matthieu]

Ah d'accord merci beaucoup =).