Fonction prolongeable par continuité et dérivable en un point. S'il vous plait, aidez moi!

[invited142144b]

Bonjour,
j'ai un DM à rendre sur les développements limités, et il y a un exercice qui contient exactement ce que j'ai du mal à comprendre, j'espère que vous pourrez m'éclairer sur ces points:

Soit f la fonction

f(x)=(ln(1+2x+cosx)-racinede(1+2x)+a)/x²

a. Déterminer le réel a pour que f soit prolongeable par continuité en 0.
b. Le prolongement ainsi obtenu est il dérivable en 0?

J'ai commencé par calculer la lim x tend ver 0 de f(x) et j'ai trouvé + l'infinie, j'ai ensuite dit que la fonction admettait bien une limite en 0 et donc qu'il était prolongeable par continuité mais je ne sais pas si c'est juste.


Je vous remercie à l'avance pour vos réponses! S'il vous plait, aidez moi...

MARGUERITIAN
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[Médiat]

Bonjour

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f(x)=(ln(1+2x+cosx)-racinede(1+2x)+a)/x²

J'ai commencé par calculer la lim x tend ver 0 de f(x) et j'ai trouvé + l'infinie, j'ai ensuite dit que la fonction admettait bien une limite en 0 et donc qu'il était prolongeable par continuité mais je ne sais pas si c'est juste.

D'abord, sommes-nous bien d'accord que la fonction à étudier est bien



Le but de cet exercice est de vous faire trouver a pour que la limite ne soit pas l'infini, car sinon, vous ne pourriez pas la prolonger par continuité (vous poseriez f(0) = quoi ?).

Comme au dénominateur vous avez du x², il est clair qu'un développement limité d'ordre 1 ne peut pas vous donner la réponse, il faut aller, au moins jusqu'à l'ordre 2.
Le plus sur est d'écrire vos développements limités avec les o(xⁿ), c'est la seule garantie.

Allez-y pas à pas, c'est un peu pénible (calculatoire si vous préférez), mais pas difficile.

[invited142144b]

Oui c'est bien de cette fonction que l'on parle, mais j'ai calculé le développement limité pas à pas et au final j'ai trouvé une limite qui tend vers + l'infinie, seulement ce que je voudrai savoir c'est comment on peut déterminer a une fois que l'on a une limite finie...?
Et je ne peux pas calculer f(0) car on ne peut pas diviser par 0 pour calculer la dérivée, du coup je ne sais pas du tout quoi faire... :/

[Médiat]

Donnez nous les développements limités que vous avez utilisés ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited142144b]

j'ai fait un developpement limité en 0
ln(1+2x+cosx)=ln(2+2x-x²)=ln(2(1+x-x²/4))=ln2+ln(1+x-x²/4)
du coup c'est toujours au voisinage de 0 que je développe ln(1+x-x²/4):
on trouve:ln(1+2x+cosx)=ln2+x-x²+x²E(x) E(x) tend vers 0 quand x tend vers 0

on a alors racine de (1+2x) = 1+x-0.5x²+x²E(x) E(x) tend vers 0 quand x tend vers 0

on a alors: f(x)=ln2+x-x²+x²E(x)-(1+x-0.5x²+x²E(x))+a le tout divisé par x²

on trouve au final un résultat réduit...

[Médiat]

ln(1+2x+cosx)=ln(2+2x-x²/2)=ln(2(1+x-x²/4))=ln2+ln(1+x-x²/4)

du coup c'est toujours au voisinage de 0 que je développe ln(1+x-x²/4):

Oui

on trouve:ln(1+2x+cosx)=ln2+x-x²+x²E(x) E(x) tend vers 0 quand x tend vers 0

Non pour deux raisons :
1) x²/4 est devenu x²
2) vous devez utiliser un DL de ln(1+X) d'ordre 2 et non 1

on a alors racine de (1+2x) = 1+x-0.5x²+x²E(x) E(x) tend vers 0 quand x tend vers 0

Oui

on a alors: f(x)=ln2+x-x²+x²E(x)-(1+x-0.5x²+x²E(x))+a le tout divisé par x²

Comme je vous le disais, plus haut il y a une erreur dans le terme en x², mais vous pouvez constater que le terme en x disparait, vous allez donc trouver un truc du genre , donc en posant , vous trouverez une limite égale à

[invited142144b]

Oui


Non pour deux raisons :
1) x²/4 est devenu x²
2) vous devez utiliser un DL de ln(1+X) d'ordre 2 et non 1

Oui

Comme je vous le disais, plus haut il y a une erreur dans le terme en x², mais vous pouvez constater que le terme en x disparait, vous allez donc trouver un truc du genre , donc en posant , vous trouverez une limite égale à

Quand vous dites: "Non pour deux raisons :
1) x²/4 est devenu x²
2) vous devez utiliser un DL de ln(1+X) d'ordre 2 et non 1"
je ne comprends pas pourquoi parce que moi je l'ai fait d'ordre 0 parce que lorque x tend vers 0 X tend vers 0

[Médiat]

A un moment vous avez ln(1+x-x²/4) qui est de la forme ln(1 + X), vous devez impérativement (dans ce cas) utiliser un DL d'ordre 2 au voisinage de 0, c'est à dire :
ln(1 + X) = X -X²/2 + X²E(X) (pour reprendre vos notations).

C'est à dire ln(1 + x - x²/4) = x - x²/4 - (x - x²/4)²/2 + x²E(x) ; vous voyez qu'il apparaît un terme en x² que vous ne pouvez pas négliger !

[invited142144b]

j'ai fait un developpement limité en 0
ln(1+2x+cosx)=ln(2+2x-x²)=ln(2(1+x-x²/4))=ln2+ln(1+x-x²/4)
du coup c'est toujours au voisinage de 0 que je développe ln(1+x-x²/4):
on trouve:ln(1+2x+cosx)=ln2+x-x²+x²E(x) E(x) tend vers 0 quand x tend vers 0

on a alors racine de (1+2x) = 1+x-0.5x²+x²E(x) E(x) tend vers 0 quand x tend vers 0

on a alors: f(x)=ln2+x-x²+x²E(x)-(1+x-0.5x²+x²E(x))+a le tout divisé par x²

on trouve au final un résultat réduit...

Oui, j'ai compris où j'ai fauté
Seulement, j'ai refait les calculs et au final j'ai trouvé:

f(x)=-1/4+(a-1)/x²

maintenant la limite de ça c'est toujours + l'infinie...

[invite57a1e779]

maintenant la limite de ça c'est toujours + l'infinie...

Même si a=1 ?
Par ailleurs j'ai un doute quant au résultat obtenu.

[Médiat]

J'ai peur qu'il y ait encore des erreurs, pouvez-vous nous transmettre vos calculs (je ne vois pas comment le ln(2) disparaît), en séparant bien le DL du log et le DL de la racine.

[invited142144b]

enfete au final j'ai trouvé
(ln2-1+a)x²-1/4
je m'était trompé dans le message précédent

[Médiat]

Je n'ai pas vérifié les calculs, mais je suppose que vous voulez dire :
(ln2-1+a)/x²-1/4 + E(x), donc comme je vous le disais dans un message précédent, il suffit d'annuler (ln2-1+a), pour obtenir une limite finie.