Calcul somme infinie d'une fonction rationnelle

[thomas5701]

Bonjour à tous, j'ai un petit problème pour le calcul d'une somme infinie.

Si on considère la somme pour n variant de 1 à l'infini de:
4n/(n^4 + 2n² +9)
On doit trouver 5/6.


Ma première piste, c'est de considérer la somme comme une série entière, pour ensuite décomposer en élément simple et retrouver des formes usuelles de série entière. Mais problème, cette méthode fait apparaître des complexes.

Je ne vois pas trop comment résoudre cela, existe-t-il une autre méthode appropriée?

Je vous remercie de votre aide!
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[invite57a1e779]

En quoi est-il gênant d'avoir des calculs intermédiaires non réels ?
Les éléments simples sont deux à deux conjugués, et le résultat final sera bien un nombre réel.

[thomas5701]

Je me suis peut-être un peu mal expliqué. J'arrive, après ma décomposition en élément simple, à des fractions rationnelles complexes. Je ne vois pas comment passer par des fonctions usuelles ensuite.