Classe Cn
Bonjour à tous,
J'ai un ptit problème au sujet de la notion de classe d'une fonction. Dans pas mal de démonstrations de cours, mon prof utilise le raisonnement suivant : " f est de classe Cn sur I donc f' est de classe Cn sur I"
Je ne comprends pas pourquoi f' est de classe Cn sur I ?! Selon moi, si f est de classe Cn sur I alors f' est de classe Cn-1 sur I; puisque si f est n fois dérivable sur I alors f' est (n-1) fois dérivables sur I non?!
Merci à tous ceux qui participeront !
Re : Classe Cn
Re
Autre interrogation: je ne comprends pas cette propriété:
Si f est n fois dérivable alors ∀p ∈ [0,n], f est p fois dérivable et
f(p) est n-p fois dérivable.
Si je prends par exemple p=n, j'obtiens alors f(n) est 0 fois dérivable, ce qui n'a pas de sens non ?!
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Non non j'ai rien dit ! il est normal que f(n) ne soit pas dérivable puisque f est n fois dérivable, on a donc atteint le nombre maximal de dérivée possible; je m'en suis rendu compte en écrivant mon message... dsl
oui tu as raison. ça doit être une faute de frappe.Envoyé par guy_flavien
Bonjour à tous,
J'ai un ptit problème au sujet de la notion de classe d'une fonction. Dans pas mal de démonstrations de cours, mon prof utilise le raisonnement suivant : " f est de classe Cn sur I donc f' est de classe Cn sur I"
Je ne comprends pas pourquoi f' est de classe Cn sur I ?! Selon moi, si f est de classe Cn sur I alors f' est de classe Cn-1 sur I; puisque si f est n fois dérivable sur I alors f' est (n-1) fois dérivables sur I non?!
Merci à tous ceux qui participeront !
voilà
en plus ça rejoint justement ce que tu disais avant.
Re : Classe Cn
Merci pour ton intervention lioobayoyo mais il y a encore autre chose que je ne comprends pas ^^oui tu as raison. ça doit être une faute de frappe.
Il s'agit de l'hérédité de la preuve par récurrence de la propriété suivante:
Si f ∈ Cn (I,R) et g ∈ Cn (J,R) avec f(I)⊂J alors gof ∈ Cn (I,K) [Hn]
Hérédité : Soit n ∈ N. Supposons [Hn]
vraie et prouvons qu'alors [Hn+1] est vraie.
Soit f ∈ Cn+1 (I,R) et g ∈ Cn+1 (J,R) avec f(I)⊂J. Alors f est dérivable sur I et g est dérivable sur J. Donc d'après le th. de dérivation des fonctions composées, gof est dérivable sur I et (gof)' = f'g'of (jusqu'ici tout va bien)
Comme f ∈ Cn (I,R) et g' ∈ Cn (J,R), d'après [Hn], g'of ∈ Cn (I,K)
(C'est ce passage que je ne comprends pas, pourquoi f est de classe Cn alors qu'il est censé être de classe Cn+1 ?!
Ensuite, ça continue et je ne comprends toujours pas
Puis d'après le th. des produits des fonctions de classe Cn, comme f' ∈ Cn (I,R), (gof)' ∈ Cn (I,K) . Donc gof ∈ Cn+1 (I,K)
D'où le résultat par récurrence.
L'idée de cette preuve c'est la suivante :
je sais dériver une fois.
Je veux prouver que f°g est (continuement) dérivable n+1 fois
alors, ce qu'on va faire, c'est dériver une fois notre f°g et voir si le résultat est encore dérivable n fois.
Comme ça en tout ça voudra bien dire qu'on peut le dériver n+1 fois.
Est-ce que c'est plus clair là ?
Re : Classe Cn
Je comprends l'idée de l'hérédité, c'est-à-dire montrer que (fog)' est de classe Cn pour dire que fog est de classe Cn+1 et ainsi valider la propriété par récurrence.
En revanche, ce que je ne comprends pas, ce sont les moyens pour y parvenir. Pourquoi est-il dit dans la démonstration que f est de classe Cn sachant qu'on a posé que f est de classe Cn+1? Ensuite on dit aussi que f' est de classe Cn. Si f est de classe Cn alors f' est de classe Cn-1 non?!
Quoi qu'il en soit, encore merci pour ton aide lioobayoyo
Si on suppose que f est de classe Cn+1, alors :
– f' est de classe Cn, parce qu'on a utilisé un ordre de dérivabilité ;
– f est de classe Cn, parce que qui peut le plus peut le moins.
voilà comme dit God's breath
dans ce genre de cas on dit souvent de cette manière :
puisque f est de classe Cn+1, alors en particulier elle est de classe Cn
bien sûr ce n'est pas équivalent, mais dans le cas précis c'est exactement ce qu'on voulait prouver.
On a la multiplication de deux fonctions (f' et g'°f) et on veut voir que ceci est de classe Cn. Pour cela il faut juste voir que chaque facteur est Cn.
