Classe Cn
Bonjour à tous,
J'ai un ptit problème au sujet de la notion de classe d'une fonction. Dans pas mal de démonstrations de cours, mon prof utilise le raisonnement suivant : " f est de classe Cn sur I donc f' est de classe Cn sur I"
Je ne comprends pas pourquoi f' est de classe Cn sur I ?! Selon moi, si f est de classe Cn sur I alors f' est de classe Cn-1 sur I; puisque si f est n fois dérivable sur I alors f' est (n-1) fois dérivables sur I non?!
Merci à tous ceux qui participeront !
Re : Classe Cn
Re
Autre interrogation: je ne comprends pas cette propriété:
Si f est n fois dérivable alors ∀p ∈ [0,n], f est p fois dérivable et
f(p) est n-p fois dérivable.
Si je prends par exemple p=n, j'obtiens alors f(n) est 0 fois dérivable, ce qui n'a pas de sens non ?!
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Non non j'ai rien dit ! il est normal que f(n) ne soit pas dérivable puisque f est n fois dérivable, on a donc atteint le nombre maximal de dérivée possible; je m'en suis rendu compte en écrivant mon message... dsl
Dernière modification par guy_flavien ; 01/11/2010 à 23h39.
oui tu as raison. ça doit être une faute de frappe.Envoyé par guy_flavien
Bonjour à tous,
J'ai un ptit problème au sujet de la notion de classe d'une fonction. Dans pas mal de démonstrations de cours, mon prof utilise le raisonnement suivant : " f est de classe Cn sur I donc f' est de classe Cn sur I"
Je ne comprends pas pourquoi f' est de classe Cn sur I ?! Selon moi, si f est de classe Cn sur I alors f' est de classe Cn-1 sur I; puisque si f est n fois dérivable sur I alors f' est (n-1) fois dérivables sur I non?!
Merci à tous ceux qui participeront !
voilà
en plus ça rejoint justement ce que tu disais avant.
Re : Classe Cn
Merci pour ton intervention lioobayoyo mais il y a encore autre chose que je ne comprends pas ^^oui tu as raison. ça doit être une faute de frappe.
Il s'agit de l'hérédité de la preuve par récurrence de la propriété suivante:
Si f ∈ Cn (I,R) et g ∈ Cn (J,R) avec f(I)⊂J alors gof ∈ Cn (I,K) [Hn]
Hérédité : Soit n ∈ N. Supposons [Hn]
vraie et prouvons qu'alors [Hn+1] est vraie.
Soit f ∈ Cn+1 (I,R) et g ∈ Cn+1 (J,R) avec f(I)⊂J. Alors f est dérivable sur I et g est dérivable sur J. Donc d'après le th. de dérivation des fonctions composées, gof est dérivable sur I et (gof)' = f'g'of (jusqu'ici tout va bien)
Comme f ∈ Cn (I,R) et g' ∈ Cn (J,R), d'après [Hn], g'of ∈ Cn (I,K)
(C'est ce passage que je ne comprends pas, pourquoi f est de classe Cn alors qu'il est censé être de classe Cn+1 ?!
Ensuite, ça continue et je ne comprends toujours pas
Puis d'après le th. des produits des fonctions de classe Cn, comme f' ∈ Cn (I,R), (gof)' ∈ Cn (I,K) . Donc gof ∈ Cn+1 (I,K)
D'où le résultat par récurrence.
L'idée de cette preuve c'est la suivante :
je sais dériver une fois.
Je veux prouver que f°g est (continuement) dérivable n+1 fois
alors, ce qu'on va faire, c'est dériver une fois notre f°g et voir si le résultat est encore dérivable n fois.
Comme ça en tout ça voudra bien dire qu'on peut le dériver n+1 fois.
Est-ce que c'est plus clair là ?
Re : Classe Cn
Je comprends l'idée de l'hérédité, c'est-à-dire montrer que (fog)' est de classe Cn pour dire que fog est de classe Cn+1 et ainsi valider la propriété par récurrence.
En revanche, ce que je ne comprends pas, ce sont les moyens pour y parvenir. Pourquoi est-il dit dans la démonstration que f est de classe Cn sachant qu'on a posé que f est de classe Cn+1? Ensuite on dit aussi que f' est de classe Cn. Si f est de classe Cn alors f' est de classe Cn-1 non?!
Quoi qu'il en soit, encore merci pour ton aide lioobayoyo
Si on suppose que f est de classe Cn+1, alors :
– f' est de classe Cn, parce qu'on a utilisé un ordre de dérivabilité ;
– f est de classe Cn, parce que qui peut le plus peut le moins.
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
voilà comme dit God's breath
dans ce genre de cas on dit souvent de cette manière :
puisque f est de classe Cn+1, alors en particulier elle est de classe Cn
bien sûr ce n'est pas équivalent, mais dans le cas précis c'est exactement ce qu'on voulait prouver.
On a la multiplication de deux fonctions (f' et g'°f) et on veut voir que ceci est de classe Cn. Pour cela il faut juste voir que chaque facteur est Cn.
