Polynôme rationnel

[Bleyblue]

Bonjour,

Comment feriez-vous pour montrer qu'un polynôme à coefficients rationnels admettant comme racine admet forcément comme racine ?

Ca doit être facile mais je n'arrive pas à retomber sur la preuve.
Je pars du fait que



et j'essaye de montrer que



mais sans succès

merci
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[invite986312212]

peut-être parce que le produit des racines doit être rationnel. Et la somme aussi.

[Amanuensis]

(Références en anglais...)

http://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27...bility_theorem

Une démo (théorème 3) là :

http://fermatslasttheorem.blogspot.c...ucibility.html

[invite57a1e779]

On décompose le polynôme en une composante paire et une composante impaire : , et étant des polynômes à coefficients rationnels.

On a donc : avec et rationnels.

Comme est irrationnel, on en déduit : , d'où : .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah, c'est joli

D'accord, merci beaucoup.