Equation différentielle du second ordre

[inviteaa29bb00]

Bonjour!

Voilà, j'ai un problème pour la ésolution de cette équation



*J'ai résolu l'équation homogène
(H)
à l'aide de l'équation caractéristique
(Ec) r²+2r+1=0

Je trouve f les fonctions solutions de (H) avec
A et B des réels.

*Je ne sait pas comment trouver une solution particulière, il faut utiliser la méthode de variation de la constante il me semble, mais mm en relisant mon cours et les exemples, je ne comprends pas comment trouver cette solution. J'aimerai donc beaucoup qu'on m'explique comment faire.

Merci d'avance!
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[invite63e767fa]

Puisque y=B*exp(-x) est une solution de l'équation homogène, essaye en remplacant la constante B par une fonction f(x):
y = f(x)*exp(-x)
Le repport dans l'équa.diff. complète devrait donner une nouvelle équa. diff. plus simple qui permet de calculer f(x).

[inviteaa29bb00]

Je trouve



Mais je ne sais pas comment trouver une expression de à partir de ces données. Je sais qu'il faut exprimer par exemple
f(x)=ax²+bx+c mais comment "deviner" le degré?

[invitec9750284]

Salut,

Si n est le degré de f, alors le degré de f'' est n-2.
Ainsi, l'équation nous permet de voir que le maximum entre n et n-2 est égal à 1.
Je te laisse conclure...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Non, si , alors par la formule de Leibniz : .

[inviteaa29bb00]

Après recherche sur des sites qui donnent le cours, j'ai trouver

y(x)=exp(-x).(ax³+bx²+cx+d)

Si vous pouvez me dire si c'est le bon résultat, après je pense pouvoir arriver à dériver 2 fois puis à identifier.

[inviteaa29bb00]

Puisque y=B*exp(-x) est une solution de l'équation homogène, essaye en remplacant la constante B par une fonction f(x):
y = f(x)*exp(-x)
Le repport dans l'équa.diff. complète devrait donner une nouvelle équa. diff. plus simple qui permet de calculer f(x).

j'ai simplement dérivé

[invitec9750284]

Le discriminant de l'équation caractéristique de l'équation différentielle homogène (sans second membre) est nul, donc il faut bien chercher une solution particulier de la forme f(x)=Q(x)exp(-x) avec Q une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à n+2.
C'est donc bien une bonne solution particulière que tu proposes.

[invite63e767fa]

pour Morgane01430 :
Ne te serais tu pas trompée dans tes dérivations ?
Tu aurais du trouver f '' = 2x

[inviteaa29bb00]

Pour la solution particulière, je trouve

f'(x)=exp(-x).(-ax³+x²(-b+3a)+x(-c+2b)-d+c

f"(x)=exp(-x).(ax³+x²(b-6a)+x(c-4b+6a)+d-2c-2b

en remplaçant y par f(x), j'ai comme équation



Soit a=1/3 et b=0 par identification.

Mon résultat est il juste?

[invite57a1e779]

Oui, cette fois, c'est ça.

[inviteaa29bb00]

merci!

[inviteaa29bb00]

Les solutions de (E) sont-elles de la forme

g(t)= exp(-t)((t³/3)+At+B) ?

[invite57a1e779]

Tout à fait.

[invite63e767fa]

Exact !
en effet, avec le changement y(x) = f(x)*exp(-x), on trouve :
f '' = 2x
donc f ' = x²+a
et f = ((x^3)/3) +ax+b
donc y(x) = ((x^3)/3 +ax+b)*exp(-x)

[inviteaa29bb00]

Merci beaucoup, j'ai tout compris

[inviteaa29bb00]

Pour JJacquelin
Effectivement je m'étais trompée en dérivant.
Avec votre méthode, comment est ce que je peut retrouver les valeurs de a et b (qui sont a=0 et b=0)?

[inviteaa29bb00]

Oulala c'est le matin je n'ai pas bien regarder l'expression
Désolé! Ce ont les solutions de (E)