equation differentielle second ordre

[invite07e3ae02]

Bonjour,

j'ai un exercice a realisé sur l'equation suivante:
y''+(x/1-x)y'-(1/1-x)y=1-x

On me demande de trouver une solution particulière y1 évidente de l'équation homogène et ensuite une deuxième solution y2 par la méthode de variation de la constante

En partant avec la soliton évidente que y=x

si j'ai bien compris le cours je dois utiliser cette solution et la reporter dans l'equation sans second membre y''+(x/1-x)y'-(1/1-x)y=0...


Est ce que quelqu'un peut me dire si c'est la bonne methode?
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[inviteaf1870ed]

c'est plutot y=Kx, pour pouvoir faire varier la constante K....

[invite07e3ae02]

oui je me suis mal expliqué, y=kx ,calculer la derivée et la derivée seconde et remplacer dans l'equation sans second membre?

[inviteaf1870ed]

oui, les termes en K disparaissent, et il reste des termes en K' et K"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite07e3ae02]

oui j'ai bien les termes en K qui s'annule, il me reste:
k''x+2k'+((k'*x²)/(1-x))=0

Tjrs en suivant le cours je le met sous la forme:
k"/k'=(x²-2x+2)/(x²-x) et ensuite je vois pas trop comment m'en sortir??

[invite0fa82544]

... et par intégration, primitive du second membre

[invite07e3ae02]

oui j'ai ln(k')=ln(x-1)-2ln(x)+x + Cte mais ensuite .... j'arrive pas a voir la methode ...

[invite57a1e779]

Tu calcules k' et tu primitives pour obtenir k, puis y.

[invite07e3ae02]

merci, donc j'arrive a:
k'=k*exp x*(x-1)/x²
K= k*exp x/x
donc y=K*exp x/x voilà pour la deuxieme solution particulière....

[invite57a1e779]

Attention, tu est parti de y=kx... il faut l'utiliser à la fin du calcul.

[invite07e3ae02]

ahh... là je vois pas ... je vais essayé de trouver ça

[invite57a1e779]

Tu trouve k = K exp(x)/x, et tu as y=kx, donc la solution y est ...

[invite07e3ae02]

il me reste y=k exp x

[invite57a1e779]

Il suffit de reporter des résultats dans l'équation différentielle, et de vérifier si tu as bien des solutions, ou si tu t'es trompé dans les calculs.

[invite07e3ae02]

ok, merci beaucoup pour l'aide je vais verifier tout ça