Fonction donnant le nombre de nombres premiers inférieurs à n

[invite2b14cd41]

Bonsoir,
Je recherche l'expression une fonction P de N dans N ,ou bien de R dans R, qui donnerait le nombre de nombre premiers inférieurs à un entier (ou à un réel, on considèrera dans ce cas par exemple la partie entière de P(x) comme solution).
Par exemple, P(12.3)=5.672... Donc il y a 5 entiers premiers inférieurs à 12.3

Je sais que de telles fonctions existent (preuve triviale ? ) mais j'aimerai bien connaître une "méthode" pour en trouver une, car comme ça je ne vois vraiment pas comment y parvenir. Merci d'avance.
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[invitebe0cd90e]

Salut,

Une telle fonction "existe" car l'application de N dans N qui a n associe le nombre de nombre premier inferieur ou egaux a n.. est bien une application justement.

Le probleme c'est qu'on est absolument incapable d'en donner une "formule", si c'est a ca que tu penses, ou une quelconque expression explicite de quelque nature que ce soit.

En revanche, on en connait des estimations relativement précises, mais les preuves ne sont pas forcement simples, et font souvent intervenir des notions pas forcement evidentes d'analyse complexe et de theorie analytique des nombres. Voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...mbres_premiers

[invite2b14cd41]

Le probleme c'est qu'on est absolument incapable d'en donner une "formule", si c'est a ca que tu penses, ou une quelconque expression explicite de quelque nature que ce soit.

J'aurai pourtant juré avoir lu quelque part que de telles fonctions "exprimables" avec d'autres fonctions usuelles (du type x^3 , sin (x) , x+3 ...) existaient bien ...
Ce devait être un article faux alors...

[invite97a92052]

J'aurai pourtant juré avoir lu quelque part que de telles fonctions "exprimables" avec d'autres fonctions usuelles (du type x^3 , sin (x) , x+3 ...) existaient bien ...
Ce devait être un article faux alors...

Salut,

Si une telle fonction f existait, alors déterminer si un entier n est premier consisterait à calculer f(n) - f(n-1) : si le résultat vaut 1, alors n est premier... !

En résumé, si tu trouves une telle fonction f qui se calcule simplement, alors demain tu feras la une des journaux, car tu auras trouvé un test de primalité déterministe en temps constant !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Une telle expression existe en effet, mais elle fait intervenir une somme infinie sur l'ensemble des zéros de la fonction Zeta de Riemann... et n'est donc du coup pas si explicite que ca... (mais elle permet de prouver les estimations dont parle jobherzt )

[invitea3eb043e]

Théorème de Hadamard et de la Vallée Poussin :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...mbres_premiers
Ce n'est qu'une approximation. statistique

[invite2b14cd41]

Théorème de Hadamard et de la Vallée Poussin :

J'en ai entendu parlé hier à la conférence d'Alain Connes... Evidemment je n'ai rien compris

[invite1e1a1a86]

Quelle chance déjà d'avoir pu rentrer à cette conference...
La moitié des personnes ont été refoulé à l'entrée car l'amphi était trop petit...

:/
D'ailleurs, si quelqu'un sait où on peut trouver cette conf (Video ou juste powerpoint de la conf)

[Seirios]

J'en ai entendu parlé hier à la conférence d'Alain Connes... Evidemment je n'ai rien compris

Pourtant il me semble qu'Alain Connes a justement répondu à ta question dans son anecdote sur la formule de trois pages qu'il avait trouvée au lycée : il existe des expressions exactes de , mais qui ne sont pas vraiment exploitables.

D'ailleurs, si quelqu'un sait où on peut trouver cette conf (Video ou juste powerpoint de la conf)

Je pense que c'est encore un peu tôt, il faudra attendre au moins quelques jours.

[invited7e4cd6b]

Bonjour,
Comment peux-tu etre sur que cette fct existe? Ca me parait plus algorithme en info. que mathematiques .
Certes, ca fait penser a la composition de la partie entiere et de la racine carree mais ce n'est pas sur.
Mais si elle existait ca serait sympathique.. Bon courage

[invitec7c23c92]

Bonjour,

On peut construire de telles formules explicites en étant un peu astucieux... Mais en pratique elles ne servent à rien, étant trop longues à calculer.

Des exemples : http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule...3.AAt_pratique

[invite2b14cd41]

Pourtant il me semble qu'Alain Connes a justement répondu à ta question dans son anecdote sur la formule de trois pages qu'il avait trouvée au lycée : il existe des expressions exactes de , mais qui ne sont pas vraiment exploitables.

Oui, et c'est justement cela qui m'intrigue, comment a-t-il procédé pour trouver cette formule de 3 pages??

[invite2b14cd41]

Je recherche aussi une démonstration du théorème de Mills que je ne trouve nulle part. (je me sens un peu incapable de le redémontrer seul )
Merci d'avance.

[invite97a92052]

Tiens, voilà un point de départ

http://projecteuclid.org/DPubS?verb=...03&page=record

(il te reste quelques morceaux à recoller puisque ça se base sur d'autres résultats)

[invite97a92052]

D'ailleurs il y a des erreurs de typo dans la démo ; n'oublie pas de télécharger l'errata qui est dispo sur le même site
http://projecteuclid.org/DPubS?servi...ams/1183511461

[acx01b]

salut,

on peut faire des formules explicites avec la fonction zeta, sans faire une somme infinie sur ses zéros, en faisant à la place une intégrale de -inf à +inf (la "mellin inversion formula" qui correspond à une inversion de Laplace) :




et

etc ...

[invite2b14cd41]

Tiens, voilà un point de départ

http://projecteuclid.org/DPubS?verb=...03&page=record

(il te reste quelques morceaux à recoller puisque ça se base sur d'autres résultats)

Merci... en effet, c'est plutot simple quand on connaît le résultat de Ingham.

[Seirios]

D'ailleurs, si quelqu'un sait où on peut trouver cette conf (Video ou juste powerpoint de la conf)

Je suis tombé dessus par hasard, si cela intéresse encore quelqu'un : http://vimeo.com/20141832.