Utilisation de la compactification d'Alexandrov

[Seirios]

Bonjour à tous,

Dans tous les cours de topologie, on trouve un petit paragraphe sur la compactification d'Alexandrov, montrant qu'un espace localement compact X peut être imergé dans un espace compact X', de telle sorte que X s'identifie au complémentaire d'un point de X' ; on dit alors que X est dense dans X', on donne l'exemple du compactifié de via la projection stéréographique, et puis on s'arrête là. Plus une ligne sur cette compactification dans le reste du cours...

J'aimerais donc savoir où la compactification d'Alexandrov intervient en topologie.

Merci d'avance,
Phys2
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[invite986312212]

message supprimé

[invite4ef352d8]

Salut !

euh... nul part en particulier à ma connaissance. ca figure dans les cours plutot à titre d'exemple je pense, et puis parceque c'est quand même interessant de savoir une n'importe qu'elle espace localement compact peut-etre compactifier en ajoutant seulement un point...

enfin ca permet aussi eventuellement de mieux cerner ce que désigne "tendre vers l'infini" pour une fonction à valeur dans un espace localement compact. et d'énoncer de facon cmpletement général qu'une fonction continu entre deux espaces localement compact est propre si et seulement si elle tend vers l'infinie au voisinage de l'infinie...

[Amanuensis]

enfin ca permet aussi éventuellement de mieux cerner ce que désigne "tendre vers l'infini" pour une fonction à valeur dans un espace localement compact. et d'énoncer de façon complétement générale qu'une fonction continue entre deux espaces localement compact est propre si et seulement si elle tend vers l'infini au voisinage de l'infini...

Qu'est-ce qu'il se passe si le compactifié n'est pas séparé ?

PS : Ma question n'a pas de sens, j'ai confondu "extension" et "compactification"...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

un exemple: pour montrer que R^n et R^m ne sont pas homéomorphes si m<>n, on passe aux compactifiés, qui ne sont autres que les sphères S^n et S^m, dont on sait montrer qu'elles ne sont pas homéomorphes (parce que leurs suites de groupes d'homologie diffèrent), et on utilise le fait que deux espaces topologiques sont homéomorphes ssi leurs compactifiés le sont.

[invite4ef352d8]

mouai, enfin on peut aussi dire que si ils étaint homéomorphe alors R^n-{a} serait homéomorphe à R^m-{b} et utiliser le même argument homologique...

c'est plus ou moins la même chose mais sans passer par la compactification...

[Seirios]

D'accord, donc c'est juste un résultat intéressant ; merci

[invite30f06b89]

Y a le cas de la topologie en loi des mesures en proba aussi, qui est la trace de la * faible du compactifié d'Alexandrov (mais c'est vrai qu'on s'en fout)

[Seirios]

Vous pourriez me donner quelques compactifiés à déterminer, que je me fasse la main sur cette notion ?

mouai, enfin on peut aussi dire que si ils étaint homéomorphe alors R^n-{a} serait homéomorphe à R^m-{b} et utiliser le même argument homologique...

Il n'y a pas d'argument simple pour montrer que et ne sont pas homéomorphes ?

[invitec7c23c92]

Vous pourriez me donner quelques compactifiés à déterminer, que je me fasse la main sur cette notion ?

- l'intervalle ]0,1[
- le plan
- le plan privé d'un point
- le plan privé de deux points
- deux intervalles ouverts disjoints
- deux disques ouverts disjoints
- un ruban de Möoebius : [0,1]x]0,1[ où on identifie (0,x) avec (1,1-x)

Il n'y a pas d'argument simple pour montrer que et ne sont pas homéomorphes ?

De façon peut être un peu surprenante, ce n'est pas trivial du tout à montrer.

[Seirios]

Merci telchar. Je commence par les plus simples :

- l'intervalle ]0,1[

Il suffit de considérer l'homéomorphisme pour montrer que le compactifié de ]0,1[ est le cercle unité (à un homéomorphisme près bien sûr).
On peut aussi dire que ]0,1[ est homéomorphe à , dont le compactifié d'Alexandrov est .

- deux intervalles ouverts disjoints

On utilise le résultat précédent : on définit l'application telle que la restriction sur le premier intervalle corresponde à l'homéomorphisme sur (cercle unité de centre (0,0) privé d'un point) et telle que la restriction sur le second intervalle corresponde à l'homéomorphisme sur . On vérifie alors que est un homéomorphisme de l'union de ces deux intervalles sur , et donc est le compact recherché.

- le plan

C'est l'exemple classique qui est donné dans tous les cours : en utilisant la projection stéréographique, on en déduit que le compactifié d'Alexandrov du plan est la sphère .

- deux disques ouverts disjoints

On raisonne de la même manière que pour les intervalles, puisque un disque ouvert est homéomorphe à , donc de compactifié la sphère unité ; ainsi, le compactifié d'Alexandrov de l'union disjointe de deux disques ouverts est .

[invitec7c23c92]

- l'intervalle ]0,1[

Oui!

- deux intervalles ouverts disjoints

Oui !
On appelle ça un bouquet de deux cercles.

- le plan

ok

- deux disques ouverts disjoints

Oui ! (bouquet de deux sphères)

[Seirios]

- le plan privé d'un point

Je note le tore de tel que le rayon des cercles qui le constituent soient tous les deux égaux à 1 (un "tore fermé", d'une certaine manière, je ne sais pas s'il y a une dénomination particulière).

Le plan privé d'un point est homéomorphe à un disque ouvert privé d'un point, donc on va se placer dans ce dernier cas ; on utilisera les coordonnées polaires en plaçant l'origine sur le point manquant. Alors l'application suivante est un homéomorphisme : .

Donc le compactifié d'Alexandrov du plan privé d'un point est .