Etude de fonction exponentielle

[invite7861c7c3]

je me prepare pour mon examen et j'ai besoin de savoir faire l'etude de fonction: e^1/x mais je n' arrive a trouver que le domaine et encore ( ps: ma prof n'explique pas bien si quelqu'un pourrait m'expliquer merci
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[NicoEnac]

Bonjour (ou plutôt rebonjour),

Pour le domaine de définition, ce n'est pas compliqué : les "fonctions" qui posent problème dans le domaine de définition sont les fractions , les racines et les logarithmes (pardon si j'en oublie).

Ici on a juste une fraction avec x au dénominateur. Donc le dénominateur de doit pas pouvoir s'annuler car on ne peut diviser par 0. Donc x doit être différent de 0.

Le domaine est donc R^* (R privé de 0).

Pour étudier la fonction, on commence par la dériver. Sais-tu la calculer ?

[invite7861c7c3]

nn je connais la formule mais je ne sais pas l'appliquer

[invite7861c7c3]

mais je ne comprend pas je croyais que le domaine etait tou les reels car e^0=1 non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Le domaine, ce sont tous les réels pour lesquels tu peux calculer e^1/x. Peux-tu calculer e^1/0 ? Non car 1/0 n'existe pas.

[invite7861c7c3]

est ce qu tu es toujours la ?

[NicoEnac]

Qu'est ce que c'est que cette question ? Je viens de répondre ! Je suis là oui ! Et dépêche toi car je devrai bientôt partir

[invite7861c7c3]

oui tu as raison merci et pour les limites et la derive comment je peut faire ?

[invite7861c7c3]

je pense que il n'y a pas d'asymptote et que la derivé est egal a 1/x*e^1/x

[NicoEnac]

Tu es ici en présence d'une fonction composée.

La formule à utiliser est : (f(g(x)))' = g'(x).f'(g(x)) avec f(x) = e^x et g(x) = 1/x

[invite7861c7c3]

donc c'est e*1/x ?

[NicoEnac]

f(x) = e^x et g(x) = 1/x

Quelles sont les expressions de f'(x) et g'(x) ?

Applique ensuite la formule que je t'ai donnée. Ne saute pas d'étape stp

[invite7861c7c3]

f'(x)=e
g'(x)=1
donc 1*e*1/x

[invite7861c7c3]

ou peut etre e^(1/x)/x²?

[NicoEnac]

La dérivée de e^x, c'est e ? Eh bien... La dérivée de l'exponentielle, c'est.... l'exponentielle ! Il faut réviser tes formules et tes classiques !
La dérivée de 1/x n'est pas 1... Idem cherche dans tes cours.

Ensuite tu appliques correctement la formule que je t'ai donnée, tu étudies le signe, lorsque la dérivée est positive c'est que la fonction est croissante et lorsque c'est négatif c'est qu'elle est décroissante.

[invite7861c7c3]

Excuse moi la derivé de e^x est e^x et la dérivé de 1/x est -1/x²

[invite7861c7c3]

est ce bon ?

[invite7861c7c3]

Donc la réponse c'est -e^(1/x)/x² ?

[invite51d17075]

oui c'est ça.
ensuite
on sait que e(qcq chose ) est tj positif
et que x² est aussi tj positif , donc tu peux en deduire le signe de la derivée.

par contre attention comme dit plus haut, il faut distinguer les 2 domaines de definitions de f(x).
entre -l'inf et 0 et
entre 0 et + l'inf
et donc faire les deux variations même si le signe de la dérivée est le même.

[invite7861c7c3]

merci de m'aider mais la je ne sais plus quoi faire je crois que je dois faire la derivé seconde

[invite7861c7c3]

f''= e²*1/x²

[invite51d17075]

non tu n'es pas obligé de passer par la dérivée seconde. ( d'ailleurs la tienne n'est pas juste )

par contre, que trouves tu comme signe de la dérivée ?
ensuite il te faut calculer les limites aux bornes de definition de f(x)
soit :
en -l'inf
en 0-
en 0+
en + l'inf

et tu aurra ton tableau de variation.

[invite7861c7c3]

est ce possible ?

[invite7861c7c3]

le signe de la dérivé est negatif

[invite7861c7c3]

Pour les limites j'ai trouvé lim0=+- infini

[invite7861c7c3]

je pense qu'il n'y a pas d'asymptote

[invite51d17075]

Pour les limites j'ai trouvé lim0=+- infini

attention à differentier lim ( x->0) avec x négatif
et lim ( x->0) avec x positif

et il te faut aussi les limites en +/- l'infini
( pc : il y a des asymptotes )

[invite7861c7c3]

donc lim (x->0+)=+inf
donc lim (x->0-)=-inf
lim(x->-inf)= -inf
lim(x->+inf)= 0

[invite7861c7c3]

mais je ne vois pas ou sont les asymptotes

[invite51d17075]

donc lim (x->0+)=+inf
donc lim (x->0-)=-inf
lim(x->-inf)= -inf
lim(x->+inf)= 0

hohoh !
il n'y a que ta limite en 0+ qui est bonne
les limites en +/- l'infini vsont quand même facile
reste la limite en 0-

attention il s'agit bien des limites de la fontion de départ exp(1/x)
et pas de sa dérivée !!