:sos:les bornes sup et inf

[invite579adc40]

est ce que c'est possible que l'ensemble des majorants s'écrit comme ca B= ]-infini;x],si oui ca ne cause pas de problème si borne sup=min des majorants n'existe pas alors que les majorants existent?
de même pour les minorant s'il s'écrivent C=[x,+infini[

je serais tres reconnaissant si qq1 m'explique cela
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[invitea6f35777]

Salut,

Tu as raison, il est parfois utile de se poser se genre de question débile pour maitriser ses définitions On définit, la borne sup (resp. inf) d'un sous-ensemble de l'ensemble des réels de la façon suivante:

1- Si alors soit on ne le définit pas de borne sup (resp. inf) soit on pose par convention (c'est arbitraire d'autre choix sont possibles mais c'est le plus naturel) (resp. )

2- Si et n'est pas majoré (resp. minoré) alors on pose (resp. ).

3- Si et majoré (resp. minoré) alors l'ensemble des majorants (resp. minorants) de est non vide (par hypothèse) et minoré (resp. majoré). En effet, puisque il existe appartenant à , et est nécessairement un minorant (resp. majorant) de l'ensemble des majorants (resp. minorants) puisque tout majorant (resp. minorant) de est par définition plus grand (resp. petit) que . En particulier l'ensemble des majorants de ne peut être de la forme (resp. ) pour deux raisons. D'abord parce que comme on l'a dit l'ensemble des majorants (resp. minorants) est minoré (resp. majoré) ce qui n'est pas le cas de (resp. ). Ensuite parce que l'ensemble des majorants (resp. minorants) est naturellement pas majoré (resp. minoré) puisque tout nombre qui est plus grand (resp. petit) qu'un majorant (resp. minorant) est encore majorant (resp. minorant). En effet, si comme tout à l'heure est un élément de , si est un majorant (resp. minorant) (l'ensemble des majorants (resp. minorants) étant non vide comme on l'a dit précédemment), et si est un nombre plus grand (resp. petit) que alors (resp. ) et donc (resp. . Puisque ceci est vrai pour tout élément de , on en déduit que est aussi un majorant (resp. minorant). Il faut donc être doublement crétin (resp. débile) pour imaginer que l'ensemble des majorants (resp. minorants) puisse être de la forme (resp. ). Ainsi, si on a un QI positif la seule question que l'on puisse se poser c'est si l'ensemble des majorants (resp. minorants) d'un ensemble peut être et d'après ce qu'on a dit ce n'est pas possible dès que est non vide. Dès lors, par définition de l'ensemble des réels (si on construit l'ensemble des réels à la manière de Dedekind) ou par théorème (si on construit l'ensemble des réels à la manière des Cantor, il suffit de remarquer que l'on peut construire par récurrence une suite de majorants (resp. minorant) dont le ième terme est distant d'un élément de d'au plus , il est alors facile de montrer que cette suite est une suite de Cauchy, elle admet alors une limite par définition de l'ensemble des réels, il suffit alors de vérifier que cette limite est bien un plus petit (resp. grand) élément de l'ensemble des majorants (resp. minorants)) il existe un plus petit (resp. grand) élément (nécessairement unique puisque le plus petit (resp. grand) élément d'un ensemble est forcément unique, la démonstration de ce fait est très facile) de l'ensemble des majorants (resp. minorants). On pose donc (resp. ) égal à ce plus petit (resp. grand) élément.

[invite14e03d2a]

Salut,

est ce que c'est possible que l'ensemble des majorants s'écrit comme ca B= ]-infini;x],si oui ca ne cause pas de problème si borne sup=min des majorants n'existe pas alors que les majorants existent?
de même pour les minorant s'il s'écrivent C=[x,+infini[

je serais tres reconnaissant si qq1 m'explique cela

La borne supérieur est par définition le plus petit des majorants (s'il existe). Le problème est qu'un ensemble peut ne pas avoir de plus petit élément. Par exemple, ]0,1] n'a pas de plus petit élément.

Donc, même si l'ensemble des majorants existe, cet ensemble pourrait ne pas avoir de plus petit élément.

Cordialement

[invite579adc40]

merci taladris,kerlannais pour ton explication détaillée !et oui! je vois que ma question était débile il fallait juste percevoir qu'un ensemble des majorant et par def minoré des élément de l'ensemble et puisqu'ils sont des majorant on peut trouver x' qui majore x et donc majore notre ensemble =>x' appartient a B absurde!(B=]-infini,x])
ce qui revient a dire que pour démontrer qu'un ensemble a une borne sup<=> il existe un majorant au moins (car on est sur qu'il est aussi min des maj!car pas de -infini)
c'est ce qui m'échappait du cours merci encore une fois!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7e4cd6b]

Tu as raison, il est parfois utile de se poser se genre de question débile pour maitriser ses définitions.

LOL .
Aussi mon ami, il fallait remarquer que - l'infini ne peut jamais etre majorant , de facon analogue pour + l'infini . Bon courage mon ami