Probabilités simples - rappel

[invite6ea99c9f]

Bonjour à tous,

suite à une discussion avec des amis, je me permets de poser une question pour être sûr de ma bonne compréhension.

Si je tire deux cartes d'un jeu normal de 52 cartes, quelles est la probabilité de tirer un coeur ?

P(coeur) = 1/4 + 1/4 - 1/4*12/51 ? (p(a) + p(b) - p(a n b) )

de tirer deux coeurs ?

P(coeur, coeur) = 1/4 * 12/51 ?

si on généralise à n tirage, utilise-t-on le principe d'inclusion-exclusion ?

Merci d'avance de me corriger et m'éclairer si nécessaire ?
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[invitea6f35777]

Bonjour,

Il faut absolument que tu précise un détail. Est-ce que

1- Après avoir tirer la première carte tu la remets dans le paquet et tu le mélange de sorte que lors du deuxième tirage tu peux éventuellement tirer la même carte (tirage avec remise)

ou

2- Tu tires les deux cartes à la suite et en particulier la deuxième carte que tu tires est nécessairement différente de la première (tirage sans remise)

les probabilités sont différentes dans les deux cas

[invite6ea99c9f]

De fait ,

dans le cas ou l'on tire la premiere, puis la deuxieme sans remise.

[NicoEnac]

1 coeur : cela regroupe les cas où la première est un coeur et la seconde non et l'autre où la première n'est pas un coeur et la seconde oui.

2 coeurs : Lorsque tu tires la première, il y a 13 coeurs sur les 52 cartes donc 1 chance sur 4. Lorsque tu tires la deuxième (sachant que tu as obtenu un coeur), il y a 12 coeurs parmi les 51 cartes donc 12/51.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6ea99c9f]

Ok, pour les deux coeurs.

Pour un seul coeur, je vois donc (13/52*49/52)*2/2 (puisque l'ordre ne m'importe pas), ce qui fait 23,56%

et donc pour au moins un coeur : 29,44%

Ce qui me chagrine c'est que je suis donc complètement à côté de la plaque alors avec ma formule de l'union.
Quelqu'un peut-il m'expliquer brièvement pourquoi on ne peut l'utiliser ici ? Est-ce du à la définition des évènements ?

Merci d'avance.

[NicoEnac]

Pour un seul coeur, je vois donc (13/52*49/52)*2/2

Non ! au deuxième tirage, il reste 39 cartes qui ne sont pas des coeurs sur 51 et non pas 49 sur 52. De plus, il ne faut pas diviser par 2.

Qu'appelles-tu événement "a" et "b" dans ta formule avec l'union ?

[invite6ea99c9f]

Hmm, 39/51 de fait...
Mais si je ne divise pas par deux, n'aurais-je pas tenu compte de l'ordre ?
Exemple (as coeur, as pic) et (as pic, as coeur) ce qui est le même tirage ?

Sinon cela fait donc 13/52*39/51 + 39/52*13/51 = 38,23 %
et donc 44,12 % ??
N'est-ce pas beaucoup ?

[NicoEnac]

Pourquoi beaucoup ?
Sur un tirage, tu as une chance sur 4 (25%) d'avoir un coeur. Si tu en tires une seconde sans remettre la première, tu comprends bien que tes chances augmentent sur les deux tirages, non ?

[invitea6f35777]

S'il y avait remise (et si tu suppose que les deux tirages de cartes sont indépendants) alors en définissant les évènements

: "la première carte est un coeur"
: "la seconde carte est un coeur"

alors la probabilité que la première carte soit un coeur ou (attention c'est un ou INCLUSIF) que la deuxième carte soit un coeur est

et dans ce cas

mais par contre

et le ou inclusif fait qu'il s'agit de la probabilité d'avoir au moins un coeur, et cela contient la cas où on a deux coeurs. Pour avoir la probabilité d'avoir seulement un coeur (et donc un ou exclusif) il faut retrancher encore une fois la probabilité de l'intersection

avec l'opérateur de différence symétrique, définit pour deux ensembles et par


On a donc une probabilité de

d'avoir un coeur lors d'un tirage avec remise

Lors d'un tirage sans remise, les deux évènements a et b sont bien évidemment pas indépendants puisque la probabilité de tirer un coeur en deuxième carte dépend n'est pas la même suivant que l'on ai tirer ou pas un coeur en première carte. On a




( coeurs et cartes, )
c'est la probabilité de tirer un coeur en première carte,

c'est la probabilité de tirer un coeur en deuxième carte sachant qu'on a tiré un coeur en première carte (il ne reste que coeurs et cartes)

c'est la probabilité de ne pas tirer un coeur en première carte, c'est

c'est la probabilité de tirer un coeur en deuxième carte sachant que l'on a pas tirer de coeur en première carte.
On a donc

Par ailleurs, d'après la formules de Bayes


D'où


la seule erreur que tu as faite est donc que tu a confondu le ou inclusif et le ou exclusif