Un calcul d'espérance intéressant
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Un calcul d'espérance intéressant



  1. #1
    GuYem

    Un calcul d'espérance intéressant


    ------

    Voici une question de proba, j'avoue que je bloque dessus mais je ne suis pas loin....
    Je vous la soumets car elle me parait intéressante :

    Soit des variables aléatoires réelles indépendantes de même loi uniforme sur ; ie la densité des est .

    On pose . En clair c'est le premier indice pour lequel la somme des jusqu'à cet indice dépasse 1.

    Montrer que . (le e de exponentielle)

    -----
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  2. #2
    GuYem

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Et bien et bien, ne vous précipitez pas tous sur le sujet!

    Bon voilà une façon de procéder. Prenons , notons (S dépent de k mais on laisse tomber pour l'écriture)
    Regardons l'événement .
    En langage normal, le fait que ça veut dire que la somme des Y_i dépasse 1 au rang k, mais qu'avant elle ne l'avait pas dépassé ; notez que les Y_i sont positifs ce qui supprime les problèmes de retour en arrière lors des sommes...)
    En langage probabilistes ça s'écrit


    Ici il faut faire gaffe : S et Y_k sont indépendantes pas hypothèses mais S et S + Y_k ne le sont pas, donc pas question de couper cette proba en produit! On va donc sortir l'artillerie habituelle : transfert, densité, indépendance de S et Y_k.
    Par hypothèse la densité de Y_k c'est ; pour le moment nous noterons celle de S.
    Attention c'est parti pour les probas



    Ca c'est la définition de P, maintenant on transfère :



    est la loi du couple (S,y_k). Un petit coup d'indépendance donne :



    et maintenant les densités :


    On arrange un peu avec les fonctions caractéristiques et on sort le h(y) de l'intégrale en x.



    On calcule l'intégrale du milieu en faisant des petites considérations d'intervalles : pour 0<y<1 fixé, on veut que y+x>1, ie x>1-y. cette intégrale calcule donc la mesure (de lebesgue) de l'ensemble des x entre 1-y et 1, ca ferait pas y par hasard? SI!
    On touche au but :



    On peut montrer à coup de convolution et autres que la densité h de S est, au moins sur l'intervalle [0,1], égale à . Je passe volontairement la dessus parce que ça necessite des choses pas trés intéressantes içi, mp moi si vous voulez des détails.



    Maintenant on peut enfin calculer l'espérance de X (qui peut prendre toutes les valeurs entières strictement positive) :



    C'est pas mignon tout ça? Au moins autant qu'une jolie fille.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  3. #3
    invite736c1908

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Bonjour, j'ai une autre petite question, je bloque sur le calcul d'esperance suivant:

    avec

    sont des constantes,
    est l'élément $(j,k)$ de la matrice de Walsh-Hadamard,
    est un réel qui suit une distribution gaussienne (centrée de puissance moyenne , et chaque element est i.i.d.),
    est un réel qui suit une distribution gaussienne (centrée de puissance moyenne , et chaque element est i.i.d.).
    Est-ce faisable? Si oui, on complexifie un peu (1ere etape):
    Idem avec des distribution complexes-gaussiennes (puissances ) pour les variables et ?
    Enfin, une question est de minimiser cette esperance en choisissant le optimal... pour passer une bonne nuit... avant la decouverte du "final qui tue"...


    Si jamais qqu'un a une idee Merci d'avance!!
    Désolé pour une erreur de click au message précédent...

  4. #4
    invitef15eda31

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Guyem, suivant ton calcul pour k=2 h(y)=y or on a dans ce cas S2=Y1 donc on devrait retrouver la densité uniforme sur [0 1] cad h(y)=1. Il n'y aurait pas un pb d'indice ?
    Parce que dans ce cas on ne retrouve pas exactement l'exponentielle, le k ne peut plus se simplifier avec du k! car on se retrouve avec du (k-1)!... De plus X ne semble pas pouvoir prendre la valeur 1, il faut donc sommer à partir de 2 pour calculer l'espérance, non ?

    Merci pour votre aide

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite636fa06b

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Citation Envoyé par dazhoid Voir le message
    Guyem, suivant ton calcul pour k=2 h(y)=y or on a dans ce cas S2=Y1 donc on devrait retrouver la densité uniforme sur [0 1] cad h(y)=1. Il n'y aurait pas un pb d'indice ?
    Parce que dans ce cas on ne retrouve pas exactement l'exponentielle, le k ne peut plus se simplifier avec du k! car on se retrouve avec du (k-1)!... De plus X ne semble pas pouvoir prendre la valeur 1, il faut donc sommer à partir de 2 pour calculer l'espérance, non ?

    Merci pour votre aide
    Bonjour,
    En calculant directement, j'arrive à E(X)=e-1 mais je peux m'être planté

  7. #6
    invitef15eda31

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    As-tu une autre méthode de calcul ?
    Personnellement avec ce décalage d'indice j'obtiens du 2e-1...

  8. #7
    invite636fa06b

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Citation Envoyé par zinia Voir le message
    Bonjour,
    En calculant directement, j'arrive à E(X)=e-1 mais je peux m'être planté
    Désolé, comme prévu je me suis planté, c'est bien E(X)=e

  9. #8
    invitef15eda31

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    je vois pas mon erreur, je trouve la densité
    qui est bien uniforme pour k=2 et par la suite


    où est le problème ??
    merci...

  10. #9
    invite636fa06b

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Citation Envoyé par dazhoid Voir le message
    je vois pas mon erreur, je trouve la densité
    qui est bien uniforme pour k=2 et par la suite


    où est le problème ??
    merci...
    Erreur d'intégration :

    et

  11. #10
    invitef15eda31

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    merci beaucoup, j'avais recopié la formule écrite par Guyem en k=k-1 sans faire moi-même le calcul... désolé!

  12. #11
    GuYem

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Citation Envoyé par dazhoid Voir le message
    merci beaucoup, j'avais recopié la formule écrite par Guyem en k=k-1 sans faire moi-même le calcul... désolé!
    Zut, mais d'un coup tu me fais peur ; X ne peut effectivement pas prendre la valeur 1 et donc mon espérance déconne. Où me suis-je trompé ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  13. #12
    invite636fa06b

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Zut, mais d'un coup tu me fais peur ; X ne peut effectivement pas prendre la valeur 1 et donc mon espérance déconne. Où me suis-je trompé ?
    Non tu t'es un peu emmêlé dans les bornes en transcrivant tes résultats mais l'espérance est bien e

  14. #13
    GuYem

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Merci tu me rassures.

    Mais je me pose encore une question : pourquoi j'ai l'impression que cette espérance devrait être 2 ? Je m'explique : si on y va heuristiquement, chaque Y_i étant uniforme sur [0,1], on avance en moyenne à chaque tirage de 1/2. Donc pour avancer de 1, il va falloir en moyenne 2 tirages. Mais apparement le résultat heuristique n'est pas le même que le théorique.

    C'est étrange parce que avec le même problème pour les dés ça marche : on lance pleins de fois un dé à 6 faces équilibré et on ajoute les résultats, on fixe un entier n. En moyenne au bout de combien de coup va-t-on dépasser l'entier n ? Il me semble que la réponse est n*2/7.

    Des commentaires ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  15. #14
    invite636fa06b

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Bonjour,
    Si tu réalises une simulation de ton expérience tu vas obtenir X={2,3,2,2,4...} jamais 1 puisque que la proba que Y1=1 est nulle.
    L'espérance de X ne peut donc qu'être supérieure à 2

    Pour les dés, je pense que ce n'est pas 2n/7 mais plus

  16. #15
    invite986312212
    Invité

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    le cas des dés est très différent des uniformes, puisque pour le dé, on a non seulement un nombre minimum de lancers, mais aussi un nombre maximum. On ne peut par exemple obtenir e comme probabilité puisque cela signifierait qu'on peut calculer e par des procédés finis.

  17. #16
    GuYem

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    le cas des dés est très différent des uniformes, puisque pour le dé, on a non seulement un nombre minimum de lancers, mais aussi un nombre maximum. On ne peut par exemple obtenir e comme probabilité puisque cela signifierait qu'on peut calculer e par des procédés finis.
    Si je comprends bien tu dis que, si on pouvait trouver e comme espérance, cela voudrait par exemple dire que E est rationnel puisque la somme qui définit l'espérance n'a qu'un nombre fini de termes, tous rationnels ?

    Que penses-tu de l'espérance que j'ai donné au pif pour le temps d'atteinte d'un nombre n par des lancers de dés ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  18. #17
    invite636fa06b

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Que penses-tu de l'espérance que j'ai donné au pif pour le temps d'atteinte d'un nombre n par des lancers de dés ?
    Pour l'espérance, ton chiffre au pif n'est pas mal si n est grand, Pour petit on est loin du compte (avec n=1, l'espérance est 1)
    J'ai trouvé une formule de récurrence
    E(n)=1+E(n-1)+[E(n-2)...+E(n-6)]/6
    A suivre

  19. #18
    GuYem

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Ah oui tu as raison, il est peut-être un peu osé de dire que mon pif marche pour tout n. Par contre il y a fort à parier que E(n) est équivalent à 2n/7 quand n tend vers l'infini.

    En effet, une récurrence d'ordre 6 semblera donner le résultat, encore faut-il avoir les 6 premières valeurs. Le calcul de E(2) est déà bordélique ...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  20. #19
    invite636fa06b

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    encore faut-il avoir les 6 premières valeurs. Le calcul de E(2) est déà bordélique ...
    Pour n<8 E(n)=(7/6)^(n-1)
    En fait la relation de récurrence marche partout en posant E(n)=0 si n<1
    Après, ça se complique...

    Comme limite je parie pour

    PS en prenant la formule exacte pour n<8 et celle donnée ci dessus pour n plus grand, on fait une erreur maxi de 5 pour mille

  21. #20
    invite986312212
    Invité

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    pourquoi +0.48 ?
    moi je parie pour 2n/7 (il me semble que c'est ce que donne le théorème du renouvellement)

  22. #21
    invite986312212
    Invité

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    bon d'accord, +0.48 ne change rien! quel âne....

  23. #22
    GuYem

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    bon d'accord, +0.48 ne change rien! quel âne....
    Pourquoi +0.48 ne change rien ? Il me semblait aussi que le renouvellement donnait 2n/7...

    En fait je n'ai pas compris ce qu'est le K dans le message de zinia.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  24. #23
    invite636fa06b

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Pourquoi +0.48 ne change rien ? Il me semblait aussi que le renouvellement donnait 2n/7...

    En fait je n'ai pas compris ce qu'est le K dans le message de zinia.
    K, c'était la VA, tu peux remplacer par E(n).
    Quand n tend vers infini, le 0,48 ne change pas vraiment la valeur de l'espérance. Ca ne contredit pas le th du renouvellement
    Mais juste avant d'arriver à l'infini...

  25. #24
    invite636fa06b

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Bonsoir

    Je remonte ce fil car j'ai doute sur cela :
    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    le cas des dés est très différent des uniformes, puisque pour le dé, on a non seulement un nombre minimum de lancers, mais aussi un nombre maximum. On ne peut par exemple obtenir e comme probabilité puisque cela signifierait qu'on peut calculer e par des procédés finis.
    Pour n fixé on a bien un nombre mini et maxi de lancers et donc une proba et espérance rationnelles.
    Mais quand on passe à la limite quand n->infini, on devrait pouvoir atteindre un irrationnel, non ?

  26. #25
    GuYem

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Je pense que oui, mais quand n tend vers l'infini seulement.

    Dans le cas des variables uniformes sur [0,1], on cherchait à atteindre n=1, et on ne faisait pas tendre n vers l'infini ; on trouvait pourtant un irrationnel.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  27. #26
    invite986312212
    Invité

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    une question qu'on peut se poser c'est : quels sont les nombres qu'on peut atteindre comme proba ou disons comme espérance par passage à la limite dans un certain type d'expérience aléatoire. Pour fixer les idées, on peut se limiter aux tirages de dés à 6 faces.

  28. #27
    invite636fa06b

    Re : Un calcul d'espérance intéressant

    Bonne soirée
    Dans notre expérience, comme, Guyem l'a fait remarquer, on va obtenir une récurrence d'ordre 6. En posant que les proba élémentaires sont rationnelles (mais pas forcément de 1/6) la limite sera au pire solution d'une équation du sixiéme degré à coef rationneles.
    Donc, je dirais que notre limite sera rationnelle ou algébrique mais pas transcendante.
    Bon tout cela est un peu intuitif et pas trop rigoureux mais est-ce bien cela que tu veux dire ambrosio ?

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