Est-ce que les espaceset
Est-ce que leurs recouvrements universels ont les memes groupes d'homologie?
Je sais que
aussi,
Mais est-ce que ceci est vraiment utile pour repondre aux questions? Si oui, comment le prouver?
Bonjour.
Ce que tu notes
Les groupes d'homologies de S1xS1 sont faciles a calculer.
Le H0, c'est Z et par dualité de poincaré le H2 aussi, le H1, tu peux l'avoir par la formule de Kunneth, ou alors si tu sais que le H1 est l'abélianisé de Pi_1 et que le Pi_1 du tore c'est Z² (par exemple parce que tu peux voir le tore comme le quotient d'une variété diff R², de Pi_1 trivial, par l'action d'un groupe de Lie Z² qui agit topologiquement librement, et donc le groupe fondamental est isomorphe au dit groupe de Lie).
Les groupes d'homologie réduite ca sert pour ainsi dire a rien, si ce n'est a avoir des H0 triviaux, tu peux oublier ce truc.
Si ton vee est la somme connexe... Alors, le H0 et le H2 c'est la meme musique.
Il me semble facile de calculer le Pi_1 par le théo de Van kampen, c'est le groupe libre a 2 generateurs, donc le H1 les groupe abélien libre a deux elements.
Tes deux espaces ont alors les memes groupes d'homologies.
Pour leurs revetements universels
Celui du tore c'est R², et son homologie se limite a du H0 qui vaut Z.
Pour le revetement universel de l'autre... Son H1 sera nul, son H0 sera Z... reste a calculer son H2, par mayer vietoris par exemple (est ce que tu vois ce que cera le revetement universel de ton espace?) il est non nul, et vaut le produit direct de N copie de Z
JE me suis rendu compte que j'ai dit une bétise, j'ai appelé somme connexe, ce que je voulais appeler somme pointée (la somme connexe c'est pas tout a fait ca, et ici ca aurait pas de sens).
L'opération bouquet quoi, on recolle en un point.
Bref si c'est bien ce que tu notes
Je viens de me rendre compte que j'ai dit deux bétise.
La dualité de poincaré marche pas dans ce cas là (pour le coup j'ai honte la). Par contre tu peux facilement calculer l'homologie simplicale du machin, qui te donne quand meme le resultat, a savoir que le H² de ton "abeille" c'est Z.
Pour la 2eme question, pourquoi est-ce que l'homologie du revetement universel du tore se limite simplement a
Comment trouve-t-on le revetement universel de
Bonsoir,
Le revetement univ du tore, c'est R², quels sont ses groupes d'homologies?
Pour le revetement univ de ton deuxieme espace il est plus delicat a decrire.
C'est un graphe dont chaque sommet a 4 voisins ( a nombre denombrable de sommet), et ou sur chaque sommet on a epinglé une sphere (cela est du au fait que le revetement universel du cercle est R et celui de la sphere est elle meme, donc en chaque point de ton graphe tu as deux droites qui se coupent et une spehre.
PLus precisement c'est le graphe de cayley de groupe libre a deux generateurs (ce que j'ignorais et qui m'a été signalé par un ami)
Calculer son homologie est facile.
Par contre dans le cas 2 il n'y a aucune difficulté pour le H^0 et le H^1...
Le H^0 est trivial et le H^1 aussi, vois tu pourquoi? Il n'y a pas besoin de calculer le revetement universel pour s'en apercevoir (cela ne sert que pour le H^2)
Merci! Qu'est-ce que tu appelles cas 2? Je ne vois pas pourquoi H_0 et H_1 (de quoi?) sont triviaux.
Ben quand je dis le cas 2 je parle de Ton espace S1vS1vS2 que l'on va noter Y, disons.
Mais plus generalement si tu prends X un espace connexe par arcs et semi localement simplement connexe (ici ton espace Y est connexe et contractile, donc on est bien dans ce cas).
Que peut tu dire de son revetement universel R? Est il connexe? Quel est sont \Pi_1? Que valent donc son H^0 et son H^1?
Oh et je me suis apercu d'une chose quand je dis le H^0 trivial, je veux dire egal a Z (dsl ca a du ajouter a ta confusion), un H^0 n'est jamais nul, donc j'ai dit trivial pour dire Z.
Je recapitule un peu.
Tu as 4 espaces,le tore que l'on note X, ton second espace S1vS1vS2, que je note Y, et leurs revetement universels que l'on notera RX, et RY.
Pour X
H^0=Z, H^1=Z², H^2=Z, la encore tu peux utiliser la triangulation classique sur le tore (ou utiliser la dualité de poinacré et le fait que le H^1 c'est l'abélianisé su Pi_1)
Pour Y
H^0=Z,H^1=Z²,H^2=Z (une decomposition cellulaire te donne facilement ce resultat tu as 1 0-cycle, 2 1-cycles, et 1 2-cycle, les differentielle sont toutes nulles)
Pour RX
H^0=Z, H^1=0 et H^2=0
Pour RY
H^0=Z, H^1=0, H^2=
