Pourquoi les éléments neutres d'un corps doivent-ils être différents ?

[Seirios]

Bonjour à tous,

Tout est dans le titre : pourquoi doit-on nécessairement avoir dans un corps ? Quelle propriété ne respecte-t-on pas ?

Merci d'avance,
Phys2
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[math123]

Ben dans un corps tu as 2 lois + et . qui ont 2 élément neutre 0 pour la loi + et 1 pour la loi . sa parait naturel non ? (ou alors je suis en train de raconter une grosse anerie )

[erik]

Il y a deux façons de répondre :

Par définition (K,+,*) est un corps si
(K,+) est un groupe commutatif d'élément neutre e
(K\{e},*) est un groupe d'élément neutre e'
et la multiplication est distributive sur l'addition
Donc e' est différent de e (qui est exclu de K pour définir le groupe multiplicateur)

Bon ok c'est une façon bête de répondre

Autre façon, supposons e=e'
On a:
a*(e+b)=a*b (car e est le neutre de (K,+)) pour tout a et b de K.
Mais aussi
a*(e+b)=a*e+a*b=a+a*b (distributivité et le fait qu'on suppose e neutre de (K,*))

Donc a*b=a+a*b d'où a=e !

Donc K se réduit à un seul élément, se qui rapidement présente peu d'intérêt comme structure algébrique

[invitebe0cd90e]

Non, ca n'est pas si trivial comme question.

Deja remarque qu'un tel corps ne contient forcement qu'un seul element, autrement dit s'il existait "des" corps à un élément il n'en existerait en fait qu'un seul. En effet, pour tout element x on a .

Donc la question se ramene à "pourquoi l'anneau trivial {0} n'est pas un corps". Disons que (a ma connaissance en tous cas) ca ne provoquerait pas vraiment de contradiction, mais ca obligerait a l'exclure en permanence de tous les theoremes sur les corps. Une autre situation du meme genre est le fait qu'on decide que 1 n'est pas premier, c'est plus qu'une convention, ca serait vraiment genant. C'est d'ailleurs plus qu'une analogie, puisque un corps à un élément serait de caracteristique 1. Accessoirement, dans un tel corps 0 serait inversible pour la multiplication ce qui est assez genant.

Ceci dit, il existe des travaux (serieux !) qui visent a demontrer des choses en considérant des objets "comme si" ils etaient des trucs sur le corps à un élément (ou "truc" est n'importe quelle famille d'objet qui necessite un corps de base: courbe algébrique, espace vectoriel, ..). Par exemple, on peut voir un ensemble comme un "espace vectoriel sur le corps à un élément", en gardant à l'esprit que ca n'est qu'une analogie. De facon très (très, très, très ) conjecturale, ca pourrait par exemple donner une piste pour prouver l'hypothèse de Riemann.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2bc7eda7]

Bonsoir,

et dans ce corps 1=0 ?

Bonne soirée

[invitec7c23c92]

Au fond, décider que dans un corps on doit avoir 0=1 (c'est à dire décider que l'anneau nul {0=1} n'est pas un corps), c'est assez analogue au fait de décider que 1 n'est pas un nombre premier.

On sait qu'un entier p est premier si et seulement si Z/pZ est un corps, or Z/1Z est précisément l'anneau nul.

Il serait assez désagréable de décider que 1 est un nombre premier, ou que {0} est un corps, ça obligerait à exclure ces cas de bon nombre de théorèmes.

Par exemple, on peut voir un ensemble comme un "espace vectoriel sur le corps à un élément", en gardant à l'esprit que ca n'est qu'une analogie.

Un ensemble avec tout de même un élément distingué (qu'on appelle "0").

Un ensemble pur, ça serait un espace affine sur le corps à un élément.

et dans ce corps 1=0 ?

Il n'y a pas de corps à un élément.
Quand on dit qu'un ensemble avec un élément distingué est "un espace vectoriel sur le corps à un élément", la partie entre guillemets n'est qu'une expression conventionnelle.

Elle est là pour suggérer qu'un ensemble avec un élément distingué 0 se comporte de façon très semblable à un vrai espace vectoriel : dans bien des cas on peut transposer les théorèmes vrais pour des espaces vectoriels sur un corps fini F_p à cette nouvelle situation, en prenant remplaçant p par 1.

[Turgon]

Bonjour. En excluant le cas d'un ensemble à un élément on peut quand même répondre à la question de la manière suivante :

Si K est un corps alors pour tout x, y dans K: x(y+0)=xy+x0

Mais x(y+0)=x(y)=xy

Donc x0=0 pour tout x et on prouve de même que 0x=0 pour tout x

0 est donc absorbant pour la multiplication ce qui l'exclut en tant qu'élément neutre pour celle-ci dans le cas ou l'ensemble des éléments du corps n'est pas de cardinal 1.
Si le cardinal est 1, on en revient à vos réflexions de plus haut.

[Médiat]

Bonjour,

Un certain nombre de mathématiciens considèrent le "corps à 1 élément" :
http://perso.univ-rennes1.fr/xavier....rticles/f1.pdf
ou Alain Connes
http://www.alainconnes.org/docs/announc1.pdf.

A noter que les anglophones ne le notent pas , mais , ce qui en fait un jeu de mot franco-anglais, pas tout à fait innocent .

[Seirios]

On sait qu'un entier p est premier si et seulement si Z/pZ est un corps, or Z/1Z est précisément l'anneau nul.

Il serait assez désagréable de décider que 1 est un nombre premier, ou que {0} est un corps, ça obligerait à exclure ces cas de bon nombre de théorèmes.

Dans la preuve de cette propriété, il me semble que l'on sous-entend que p est différent de 1, puisqu'il n'y apparemment pas d'argument irréfutable pour dire qu'il n'existe pas de corps à un élément.

En excluant le cas d'un ensemble à un élément on peut quand même répondre à la question de la manière suivante :

Si K est un corps alors pour tout x, y dans K: x(y+0)=xy+x0

Mais x(y+0)=x(y)=xy

Donc x0=0 pour tout x et on prouve de même que 0x=0 pour tout x

0 est donc absorbant pour la multiplication ce qui l'exclut en tant qu'élément neutre pour celle-ci dans le cas ou l'ensemble des éléments du corps n'est pas de cardinal 1.
Si le cardinal est 1, on en revient à vos réflexions de plus haut.

Jobherzt a donné une preuve plus simple : si 0=1, alors pour tout x dans le corps, x=1.x=0.x=0 et donc nécessairement le corps est {0}, et donc de cardinal 1.


Donc en résumé, le corps à un élément n'existe pas par convention, mais pour des raisons plus techniques, il peut arriver que l'on fasse appelle à lui.

Merci pour vos réponses

[Médiat]

il n'y apparemment pas d'argument irréfutable pour dire qu'il n'existe pas de corps à un élément.

Si, il suffit que ce soit écrit dans la définition d'un corps, on aurait d'ailleurs un argument irréfutable pour dire qu'il en existe 1 (et dans ce cas il serait unique) si le contraire était dans la définition !

Ce que je veux dire c'est qu'il s'agit d'une définition, qui, par définition, contient ce que l'on veut y mettre, le seul argument qui vaille quand on donne une définition c'est son aspect pratique (c'est le même problème que celui de définir (et non de savoir) si 1 est premier ou non), c'est à dire que l'argument consiste à "compter" les théorèmes qui devront préciser une exception dans un cas et ceux qui devront préciser une exception dans l'autre.

[GillesH38a]

Bonjour,

Un certain nombre de mathématiciens considèrent le "corps à 1 élément" :
http://perso.univ-rennes1.fr/xavier....rticles/f1.pdf

ah ben je sens que ça va me donner des sujets de conversation passionnants pour le réveillon de Noël (ce n'est pas du tout une blague, les curieux peuvent me contacter par MP pour savoir pourquoi !). Ca me rappelle tout à fait les mathématiciens du "savant Cosinus" qui etaient tombés par inadvertance dans un télescope, et en étaient ressortis au bout de 8 jours affamés, mais heureux, car ils venaient de découvrir une méthode inédite d'addition des entiers de un chiffre fondée sur les propriétés de la spirale logarithmique !

[Seirios]

Si, il suffit que ce soit écrit dans la définition d'un corps, on aurait d'ailleurs un argument irréfutable pour dire qu'il en existe 1 (et dans ce cas il serait unique) si le contraire était dans la définition !

Je n'ai jamais vu dans la définition d'un corps que l'on supposait non vide...

[invitec7c23c92]

C'est équivalent à dire que 1 est différent de 0.
Ou encore on peut réécrire la définition d'un corps en exigeant que soit un groupe.

[Médiat]

Je n'ai jamais vu dans la définition d'un corps que l'on supposait non vide...

Si puisque la définition inclut que est un groupe !

[Médiat]

ils venaient de découvrir une méthode inédite d'addition des entiers de un chiffre fondée sur les propriétés de la spirale logarithmique !

C'est Alain Connes qui va être déçu quand il va apprendre que vous le prenez pour un imbécile.

[Seirios]

Si puisque la définition inclut que est un groupe !

Pas dans ma définition...En fait, je lis dans un de mes cours que (K,+,.) est un corps si (K,+,.) est un anneau et si tout élément de K\{0} admet un inverse, et la deuxième condition est toujours vérifiée si ...

Donc la condition " est un groupe" est plus forte, et induit l'impossibilité d'un corps à un élément (d'ailleurs, les deux définitions sont équivalentes dans les autres cas).

[Médiat]

Pas dans ma définition...En fait, je lis dans un de mes cours que (K,+,.) est un corps si (K,+,.) est un anneau et si tout élément de K\{0} admet un inverse,

Votre définition utilise peut-être la définition Bourbakienne d'un anneau qui inclut l'existence de l'élément neutre, ce qui ne marche pas avec l'ensemble vide !

Mais si cela vous amuse d'ergoter pour le plaisir d'ergoter ...

[God's Breath]

définition Bourbakienne

Algèbre, chapitre 1, § 9, définition 1. - On dit qu'un anneau K est un corps s'il n'est pas réduit à 0 et si tout élément non nul de K est inversible.

[Médiat]

Je parlais de la définition d'un anneau :

En terminologie universitaire française[4] et en terminologie anglaise[5] les anneaux sont souvent considérés par défaut comme unitaires. Dans le cas contraire, si la loi ∙ ne dispose pas d'élément neutre, on dit que A est un pseudo-anneau ou une algèbre associative.

Je sais que wikipedia , n'est pas infaillible, mais la référence 4 est :

Bourbaki, Algèbre, chapitre 1 ; Ramis, Deschamp, Odoux, Cours de mathématiques spéciales

Personnellement je ne possède que le tome avec les chapitres 4 et 5 et algèbre (en tout cas je n'ai retrouvé que celui-ci).

En tout état de cause je suppose que tu es d'accord que dans un corps K, (K-{0}, .) est un groupe, quelque soit la façon de le dire, non ? Sinon, il risque d'y avoir beaucoup de définitions et de théorèmes à revoir !

Quelque soit son intérêt, est exclu de cette définition, d'où les nombreuses discussions à son sujet.

[GillesH38a]

C'est Alain Connes qui va être déçu quand il va apprendre que vous le prenez pour un imbécile.

où ai-je dit ça ? - d'ailleurs la personne avec qui je vais en parler à Noel n'est pas Alain Connes mais est très loin d'être un imbécile, j'en suis convaincu.

il pourrait peut etre d'ailleurs réellement avoir des propriétés très intéressantes d'addition des entiers de un chiffre fondés sur la spirale logarithmique , Christophe était un vrai mathématicien et savait de quoi il parlait ! je me rappelle par exemple dans la même idée une démonstration lumineuse du théorème de Pythagore où il suffit de voir un triangle rectangle avec une hauteur dessinée pour comprendre d'où il vient ...

[invite4ef352d8]

"Coprs à un élement" c'est une expression. Ce qu'on appelle F_1 c'est (en général) le monoide {0,1} (avec la loi de multiplication naturel) ca n'est pas un corps, et ca a deux élement, mais il s'avèrent qu'on peut le voir comme un corps quand on fais la géométrie sur les monoides.

le fais qu'un corps est non réduit à {0} c'est donné par la définition : un coprs c'est un anneau non réduit à {0} dans lequel tout element non nul est inversible.

[Médiat]

({0,1}, +, x) c'est pas plutôt le corps ?

[invite4ef352d8]

J'ai dit le monoide {0,1} sans loi d'addition. pas F_2.