Sur quoi peut-on faire de l'analyse ?

[invite9617f995]

Bonjour,

Je me demandais sur quelles structures algébriques on peut développer une théorie analytique (si jamais il existe une définition assez formel de ce qu'est une théorie analytique pour avoir ce genre de considérations). Et notamment, peut-on faire de l'analyse sur le corps des quaternions (j'avoue que la non-commutativité doit pas être très simple à gérer) ?

De plus, y a-t-il un nom donné à l'ensemble des champs vectoriels (notamment dans l'espace à 3D) ?

Merci d'avance pour vos réponses.
Silk

PS : je préviens tout de suite que je ne suis qu'en L2 et que par conséquent j'ai des connaissances mathématiques assez limitées, donc il est possible que je ne comprenne pas bien tout ce que vous dites
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[invite9617f995]

Bonjour,

Je réitère ma question, en espérant qu'elle trouvera une réponse.

Merci d'avance

[invite986312212]

salut,

je trouve ta question pas simple : quand peut-on dir qu'on fait de l'analyse? je suppose qu'il y a plusieurs réponses. Peut-être qu'on pourrait dire: dès qu'on calcule une dérivée (?) auquel cas il faut pouvoir calculer la limite d'un rapport (f(x)-f(y))/(x-y) ce qui suppose au moins une structure de groupe sur chacun des deux ensembles (de départ et d'arrivée) à moins que ce soit le même, et aussi une action du premier groupe sur le deuxième. Il faut de la topologie aussi puisqu'il y a une limite.

mais peut-être que d'autres répondraient qu'une structure d'ordre ce n'est déjà plus de l'algèbre et déjà de l'analyse (??)

[invite9617f995]

Merci pour ta réponse ambrosio.
Effectivement, je craignais que l'analyse ne soit pas quelque chose de bien définie et que donc ma question n'est beaucoup pas de sens.

Mais avant de réfléchir un peu plus à ce que je pourrais demander dans un cadre assez général, j'aimerais savoir si il est possible de faire de l'analyse sur le corps des quaternions, si l'on entend ici par analyse l'étude des variations infinitésimales des fonctions de H dans H, et peut-être en bonus une théorie de l'intégration sur H ?


Et une autre question : donne-t-on un nom à l'ensemble des champs vectoriels ou scalaires dans l'espace à 3D ?

Merci d'avance,
Silk

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4f5f4c42]

Salut,

Tu peux faire tout ce que tu dis sur les quaternions sans rien changer. Mais il faut remarquer que la théorie de la mesure version non réels est juste un peu plus compliqué que la théorie dans le cas réel mais possède des théorêmes astronomique style "bochner". Secondo une propriété fondamentale sur la mesure de lebesgue de R est qu'elle est invariante par translation. Si tu choisis que ta mesure elle est invariante par MULTIPLICATION d'un quaternion de module 1 par exemple, là tout est différent et il faut aller du coté de la géométrie non commutative...
Je ne pense pas qu'il est de nom pour les champs vectoriels quelconque considéré comme "inutile" car ils sont nombreux à etre non intégrable... Et généralement si on ne veux pas se faire étriper par un avatar d'Arnold ou un physicien de passage, les champs étudié sont aux moins localement "intégrable"(pb de cauchy schwarz)

[invite30f06b89]

Y a bien une analyse harmonique pour les groupes non commutatifs, la non commutativité n'empêche pas de faire de l'analyse (mais c'est plus pénible faut faire attention etc).
Je pense plutôt que la question de l'analyse c'est plutôt sur quelle topologie, par exemple sur les topologies non séparées c'est plutôt mal barré.