Générateurs de (Z/10Z)*

[inviteb8f38dc5]

Bonjour,
Si on considere le groupe multiplicatif (Z/10Z)* = {1,3,7,9}

Il a phi(10)= 4 elements et par definition phi(4) = 2 generateurs.

Seulement par definition, un element X de (Z/10Z)* est generateur de ce groupe si il est d'ordre l'ordre du groupe c'est a dire :

X^4 = 1 [ mod 10]

Seulement parmi ces elements on en a 3 et non pas 2 qui verifient ca :

1^4 = 1 (mod 10)
3^4 = 9² = (-1)² = 1 (mod 10)
7^4 = 1 (mod 10)

Donc il devrait y avoir 3 generateurs ... je ne comprend pas trop.

Merci de bien vouloir m'eclairer !
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[inviteea028771]

L'ordre d'un element a est le plus petit entier n tel que a^n = 1

Or 4 n'est pas le plus petit entier tel que 1^n = 0, 1 convient

Verdict : 1 n'est pas d'ordre 4

Au passage, tout les elements d'un groupe d'ordre n verifient a^n = 1 (puisque l'ordre d'un element divise l'ordre du groupe, on a alors, si a est d'ordre p, a^n = a^(p.q) = (a^p)^q = 1^q = 1)

[inviteb8f38dc5]

Ok je comprend mieux, merci pour ta reponse.