Bonjour, soit G un groupe, et commutateur de G tout élément de la forme xyx-1y-1. D le sous-groupe de G engendré par l'ensemble des commutateurs de G .
On me demande de deteminer D lorsque G commutatif (fait), de montrer que D est un sous-groupe normal (fait) .
Je n'arrive pas
1)à montrer que G/D est commutatif.
2) Soit H un sous groupe normal de G , en supposant que G/H est commutatif montrer que D est inclu dans H.
Comment je dois faire pour résoudre 1) et 2). Merci
Salut,
cette construction est une bonne illustration de la notion de quotient. Intuitivement, le fait qu'il existe des commutateurs non triviaux est exactement ce qui "empeche" G d'etre commutatif. Donc quand tu quotientes par le sous groupe engendré par ces commutateurs, tu "tues" exactement ce qu'il faut pour obtenir un groupe commutatif.
Plus concretement, il suffit vraiment de l'écrire : il suffit de prendre deux éléments x,y de G et de montrer que leurs images dans le quotient commutent. or, vraiment par définition, l'image deest 1, donc ?
Pour la 2e, l'idée est un peu la meme : raisonne par l'absurde, prend un element non trivial x de D qui n'est pas dans H. Par definition x est un produit de commutateur, et son image dans G/H est différente de 1 puisque x n'est pas dans H.
Une autre facon de dire essentiellement la même chose, mais peut etre plus claire:
si G/H est abelien, ca veut dir que pour tout x,y de G, xy et yx sont dans la meme classe modulo H, donc il existe un h dans H tel que xy=hyx, autrement dit
