Fonction exponentielle.
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Fonction exponentielle.



  1. #1
    deyni

    Fonction exponentielle.


    ------

    Bonjour.

    Je me suis amusé avec ma calculatrice, à faire des courbes belles. Sans faire exprès le tape:

    n tend vers l'infini.

    Je me dis, mais ça ressemble beaucoup à la fonction exponentielle. je vérifie sur la table, je vois les mêmes valeurs.
    Je fais une démonstration par récurrence, tout marche.

    Néanmoins, c'est au pif que je suis tombé dessus. Comment le démontrer?

    Merci.

    -----

  2. #2
    invite2bc7eda7

    Re : Fonction exponentielle.

    Bonsoir,

    il suffit d'écrire votre égalité sous forme exponentielle.

  3. #3
    deyni

    Re : Fonction exponentielle.

    Merci de votre réponse.

    Mais, c'est un peu "tricher", on part du résultat, pour démontrer le resultat j'ai l'impression.

    Merci

  4. #4
    Lelouch

    Re : Fonction exponentielle.

    C'est pas plutôt ?
    Lelouch

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    deyni

    Re : Fonction exponentielle.

    Si c'est ça Lelouch.
    Je me suis trompé en écrivant la formule.
    Comment on peut le démontrer.

  7. #6
    Lelouch

    Re : Fonction exponentielle.

    Je connais deux méthodes : la 1ere assez compliqué et longue qui passe par les suites adjacentes et l'autre beaucoup plus simple :

    (car ln est continue).


    En faisant le changement de variable on obtient :

    En posant (attention x ici est une constante),


    or
    donc

    Enfin


    CQFD
    Lelouch

  8. #7
    deyni

    Re : Fonction exponentielle.

    OK.

    Merci pour la démonstration.
    Elle est simple et excellente.

  9. #8
    Garf

    Re : Fonction exponentielle.

    En prenant le problème dans l'autre sens, on peut arriver à ce résultat par des méthodes un peu plus visuelles (mais un peu moins rigoureuses, sauf à disposer de quelques outils un peu plus évolués).

    On sait que la fonction exponentielle est solution de l'équation différentielle suivante :




    Soit un réel (positif, pour simplifier). Pour tout entier strictement positif , on va approximer la fonction exponentielle par une fonction de la façon suivante :




    et on relie les points (i.e. est affine entre chaque et . En bref, on approche la solution de l'équation différentielle (la fonction exponentielle, donc) par la méthode d'Euler.

    On voit très facilement, par récurrence, que :



    En particulier, on a :



    Et, comme la méthode d'Euler marche bien, et qu'on a construit une approximation de façon un tant soit peu sensée, on a :


  10. #9
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction exponentielle.

    salut lelouch,
    pour moi les 2 premières lignes de ton message #6 suffisaient amplement.
    sachant que quelque soit x, il existe N tel que x/N est un petit 0.

  11. #10
    deyni

    Re : Fonction exponentielle.

    Dans votre démonstration Garf, je l'apprecie beaucoup.
    Mais comment cela vous vient-il à l'esprit, de poser cette fonction, comme celle écrite à votre 4eme ligne Latex
    Dernière modification par deyni ; 08/01/2011 à 22h54.

  12. #11
    Seirios

    Re : Fonction exponentielle.

    Citation Envoyé par Lelouch Voir le message
    Je connais deux méthodes : la 1ere assez compliqué et longue qui passe par les suites adjacentes et l'autre beaucoup plus simple :

    (car ln est continue).


    En faisant le changement de variable on obtient :

    En posant (attention x ici est une constante),


    or
    donc

    Enfin


    CQFD
    Un développement limité marche également très bien :

    .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  13. #12
    Lelouch

    Re : Fonction exponentielle.

    J'ai pas encore vu cet outils mais il s'annonce assez intéressant.
    Lelouch

  14. #13
    Seirios

    Re : Fonction exponentielle.

    Dans ce cas, tu peux appliquer la formule , avec à l'application , qui donne .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  15. #14
    Lelouch

    Re : Fonction exponentielle.

    Ça ne serait pas ?

    Et puis je pense qu'il y a un souci quand tu applique la formule a n'es tu pas en train de l'appliquer a la fonction ?
    Lelouch

  16. #15
    Seirios

    Re : Fonction exponentielle.

    Si, bien sûr.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  17. #16
    deyni

    Re : Fonction exponentielle.

    Rebonjour.

    Maintenant, je souhaite démintrer que:

    est monote.

    J'ai pensé à posé:

    Mon prof m'a dit non.

    Merci.
    Deynid'oiseaux partout !! :rire:

  18. #17
    ericcc

    Re : Fonction exponentielle.

    Ce n'est pas évident, regarde par exemple ici : http://gilles.costantini.pagesperso-...rs/EDexp03.pdf

  19. #18
    deyni

    Re : Fonction exponentielle.

    Oui, ce n'était pas évident...
    Merci beaucoup.
    Deynid'oiseaux partout !! :rire:

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