Fonction exponentielle.

[invitebf26947a]

Bonjour.

Je me suis amusé avec ma calculatrice, à faire des courbes belles. Sans faire exprès le tape:

n tend vers l'infini.

Je me dis, mais ça ressemble beaucoup à la fonction exponentielle. je vérifie sur la table, je vois les mêmes valeurs.
Je fais une démonstration par récurrence, tout marche.

Néanmoins, c'est au pif que je suis tombé dessus. Comment le démontrer?

Merci.
-----

[invite2bc7eda7]

Bonsoir,

il suffit d'écrire votre égalité sous forme exponentielle.

[invitebf26947a]

Merci de votre réponse.

Mais, c'est un peu "tricher", on part du résultat, pour démontrer le resultat j'ai l'impression.

Merci

[invite25cbd5d2]

C'est pas plutôt ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf26947a]

Si c'est ça Lelouch.
Je me suis trompé en écrivant la formule.
Comment on peut le démontrer.

[invite25cbd5d2]

Je connais deux méthodes : la 1ere assez compliqué et longue qui passe par les suites adjacentes et l'autre beaucoup plus simple :

(car ln est continue).


En faisant le changement de variable on obtient :

En posant (attention x ici est une constante),


or
donc

Enfin


CQFD

[invitebf26947a]

OK.

Merci pour la démonstration.
Elle est simple et excellente.

[invitea07f6506]

En prenant le problème dans l'autre sens, on peut arriver à ce résultat par des méthodes un peu plus visuelles (mais un peu moins rigoureuses, sauf à disposer de quelques outils un peu plus évolués).

On sait que la fonction exponentielle est solution de l'équation différentielle suivante :




Soit un réel (positif, pour simplifier). Pour tout entier strictement positif , on va approximer la fonction exponentielle par une fonction de la façon suivante :




et on relie les points (i.e. est affine entre chaque et . En bref, on approche la solution de l'équation différentielle (la fonction exponentielle, donc) par la méthode d'Euler.

On voit très facilement, par récurrence, que :



En particulier, on a :



Et, comme la méthode d'Euler marche bien, et qu'on a construit une approximation de façon un tant soit peu sensée, on a :

[invite51d17075]

salut lelouch,
pour moi les 2 premières lignes de ton message #6 suffisaient amplement.
sachant que quelque soit x, il existe N tel que x/N est un petit 0.

[invitebf26947a]

Dans votre démonstration Garf, je l'apprecie beaucoup.
Mais comment cela vous vient-il à l'esprit, de poser cette fonction, comme celle écrite à votre 4eme ligne Latex

[Seirios]

Je connais deux méthodes : la 1ere assez compliqué et longue qui passe par les suites adjacentes et l'autre beaucoup plus simple :

(car ln est continue).


En faisant le changement de variable on obtient :

En posant (attention x ici est une constante),


or
donc

Enfin


CQFD

Un développement limité marche également très bien :

.

[invite25cbd5d2]

J'ai pas encore vu cet outils mais il s'annonce assez intéressant.

[Seirios]

Dans ce cas, tu peux appliquer la formule , avec à l'application , qui donne .

[invite25cbd5d2]

Ça ne serait pas ?

Et puis je pense qu'il y a un souci quand tu applique la formule a n'es tu pas en train de l'appliquer a la fonction ?

[Seirios]

Si, bien sûr.

[invitebf26947a]

Rebonjour.

Maintenant, je souhaite démintrer que:

est monote.

J'ai pensé à posé:

Mon prof m'a dit non.

Merci.

[inviteaf1870ed]

Ce n'est pas évident, regarde par exemple ici : http://gilles.costantini.pagesperso-...rs/EDexp03.pdf

[invitebf26947a]

Oui, ce n'était pas évident...
Merci beaucoup.