polynôme caractéristique

[invite7afa3ac7]

bonjour,

j'ai un petit problème à un exo :

on a u un endomorphisme d'un R-espace vectoriel de dimension au moins 2 avec :

u²+u+Id=0

d'abord j'ai du montrer que le plan P=Vect(x,u(x)) est stable par u : j'ai réussi cette question

ensuite on doit montrer que X²+X+1 divise le poly. caractéristique de u.

je sais déjà que le polynome caractéristique de la restriction de u à P (appelons le Q) divise celui de u.
Ainsi, j'aimerais montrer que X²+X+1 divise Q mais ne sait pas trop comment m'y prendre sachant que celui-ci n'est pas scindé dans R !

merci d'avance
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[invite9617f995]

Bonjour,

Dites moi si je me trompe, mais il me semble qu'un raisonnement comme ça pourrait marcher :
Soit λ une valeur propre (possiblement complexe) de u. λ est racine de tout polynôme annulateur de u, donc de P(X)=X²+X+1.
Or, comme tu l'a fait remarquer ce polynôme n'a pas de racine réelle donc λ est complexe et P(X)=(X-λ)(X-*λ).
Reste ensuite à se rappeler les propriétés des valeurs propres complexes d'un endomorphisme réel et donc de conclure.

Silk

[invite332de63a]

Bonjour

Qu'appelle t-on ?

 Cliquez pour afficher

L'ensemble des polynômes en u

Soit (Notation que je viens d'inventer car je ne me souviens plus la officielle)

Que sait on sur ?

 Cliquez pour afficher

est un idéal engendré par un polynôme de degré minimal

Donc si l'on note le polynôme caractéristique de u alors il fait parti de [/TEX] mais le polynôme de degré minimal de divise et tout autre polynôme annulant u

Donc dans ton cas est engendré par quel polynôme ?
Comme est non scindé je pense donc que au vu du fait qu'il annule u il engendre donc donc divise le polynôme caractéristique.

[invite7afa3ac7]

ouai mais le problème c'est que lambda et lambda* sont les valeurs propres possibles de la restriction de u à P mais les deux ne le sont pas forcément il me semble !

de plus peut on parler de valeur propre complexe alors que l'on est dans un R-ev ? je ne sais pas ?

comment raisonner dans ce cas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7afa3ac7]

oh la je ne connais pas ces notions de polynome de degré minimal ou encore d'idéal engendré ...

n'y aurait-il pas plus simple ?

[invite57a1e779]

d'abord j'ai du montrer que le plan P=Vect(x,u(x)) est stable par u : j'ai réussi cette question

ensuite on doit montrer que X²+X+1 divise le poly. caractéristique de u.

je sais déjà que le polynome caractéristique de la restriction de u à P (appelons le Q) divise celui de u.

Tout simplement : (x,u(x)) est une base de P.
Tu détermines la matrice de la restriction de u à P dans cette base.
Tu en déduis le polynôme caractéristique de la restriction de u à P.
Tu conclus.

[invite7afa3ac7]

d'accord !

j'ai trouvé le poly caract de la restriction de u à P = X²+X+1

donc cela marche !

est-ce exact ?

[invite57a1e779]

Bien sûr que oui.