Polynôme caractéristique

[invite2bc7eda7]

Bonsoir,

je cherchais quelques informations sur internet et je suis tombés sur les polynômes caractéristiques des matrices de taille n... je me demandais en fait comment on pouvais définir un déterminant (det(A-XIn) en l'occurence, où A est une matrice carré d'ordre n) alors qu'il faut considérer des éléments d'un corps...

Peut être suis-je tout à fait à coté de la plaque...

merci de votre aide,

Mystérieux1
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[God's Breath]

Si la matrice est à coefficients dans le corps , alors est à coefficients dans le corps .
On peut donc facilement définir sont déterminant, qui est a priori élément de , mais dont il est facile de démontrer qu'il est élément de .
Par ailleurs on sait très bien définir des déterminants lorsque l'on travaille dans un anneau commutatif. Jean Dieudonné a même développé une théorie des déterminants dans le cas non commutatif.

[invite2bc7eda7]

Merci beaucoup pour votre réponse très rapide, mais maintenant me vient une question sur ce que vous avez dit...

On peut donc facilement définir sont déterminant, qui est a priori élément de , mais dont il est facile de démontrer qu'il est élément de .

comment le démontre t on? (et pourquoi est il a priori dans ? ...)

Bonne soirée,

Mystérieux1

[Thorin]

Il est a priori dans K(X) parce que les coefficients de la matrice sont dans K(X).

Le déterminant est alors en fait dans K[X] en tant que somme/produits de coefficients de la matrice, qui sont des éléments de K[X].

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2bc7eda7]

Merci beaucoup

je vois le "truc",

bonne soirée,

Mystérieux1

[God's Breath]

Lorsqu'une matrice est à coefficients dans le corps , son déterminant est par définition élément de .

Le fait que la matrice soit de la forme et que le corps soit un corps de la forme ne constitue qu'un cas particulier de cette définition.

La formule :
permet de démontrer si les coefficients de ne sont pas des éléments quelconques de , mais sont en fait des polynômes, il en est de même du déterminant.

[invite2bc7eda7]

je suppose donc que le polynome est de degré n... mais encore une fois je ne vois ca qu' "avec les mains..." sur quelques exemples... en revanche son coefficient dominant est bien (-1)ⁿ

merci encore,

bonne soirée

Mystérieux1

[Thorin]

oui, le polynome caractéristique est de degré n

[invite2bc7eda7]

Cela se démontre t il facilement? (si oui pourrais je avoir une idée de démonstration? (je n'avais jamais rencontré, jusqu'ici, la formule générale du déterminant...))

merci encore,

Mystérieux1

[Thorin]

(je n'avais jamais rencontré, jusqu'ici, la formule générale du déterminant...))

quelles études poursuis-tu ?

Cela se démontre t il facilement?

Par exemple, par récurrence, en utilisant le "développement du déterminant par rapport à la première ligne" pour l'hérédité.

Ou encore avec la formule :.
Cette formule est donc une somme de polynômes.

manifestement, on obtient un polynome de degré maximal lorsque l'on multiplie les , et donc pour , mais peut être jugeras-tu que c'est démontré "avec les mains"

[invite2bc7eda7]

quelles études poursuis-tu ?

je suis en sup mais "malheureusement" en pcsi/si (j'aime beaucoup les maths, beaucoup plus que les autres matières d'ailleurs, mais j'ai préféré la pcsi pour des raisons personnelles...)

merci beaucoup pour ta réponse, j'avais pensé au développement, mais tout ca de tête n'était pas tout à fait clair !

Bonne soirée,

Mystérieux1