polynomes dans F3[X]

[inviteb8f38dc5]

Bonjour, je voudrais vérifier avec vous exercice suivant :

Determiner tout les polynomes P de F3[X] irreductibles de degré 2.

J'ai P(X) = X² +bX + c

comme il est de degré 2 il est irreductible si seulement il na pas de racines donc si son discriminant nest pas un carré modulo 3.
delta = b²-4c
Les carres modulo 3 sont 0 et 1 et 3 donc on veut b² -4c = 2 soit
b²= 2 +4c
on trouve pour c = 1, b =0 et pour c = 2, b =1

donc les polynomes sont X² + 1 et X²+X+2


2) Q =X^6+X^4+X^3+X²+X de F3[X]
Decomposer Q en facteurs irreductibles, l'anneau F3[X]/ Q est-il un corps ?

Pour la decomposition je ne sais pas trop comment faire mais je vois bien que Q est divisible par X, ce qui implique qu'il est reductible et donc que l'anneau en question nest pas un corps .

Merci de m'aider.
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[invite57a1e779]

b²= 2 +4c
on trouve pour c = 1, b =0 et pour c = 2, b =1

Cmme on travaille dans F₃, on pourrait réécrire la condition : b²=2+c, ou encore : c=b²-2=b²+1.
Je trouve donc 3 possibilités :
b=0, c=1 : P=X²+1 ;
b=1, c=2 : P=X²+X+2 ;
b=2, c=2 : P=X²+2X+2

Q =X^6+X^4+X^3+X²+X de F3[X]
Decomposer Q en facteurs irreductibles

Tu as déjà vu : .
Le polynôme n'a aucune racine dans F₃ : soit il est irréductible, soit il est admet deux facteurs irréductibles de degrés 2 et 3.
Dans ce dernier cas, le facteur irréductible de degré 2 est l'un de ceux trouvés auparavant ; il suffit de quelques divisions pour obtenir, dans F₃ :
.

[inviteb8f38dc5]

Merci beaucoup pour ton aide God's beath !