Relation d'équivalence dans un anneau de polynômes
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Relation d'équivalence dans un anneau de polynômes



  1. #1
    invite07dd2471

    Relation d'équivalence dans un anneau de polynômes


    ------

    Bonjour,

    une question que j'ai cherché un bon moment sans trouver :
    Soit f un polynome de K[X] (K est un corps)
    montrer que f(Y) est congru à :
    f(X) + f'(X)(Y-X) modulo (Y-X)²
    ( f' est le "polynôme dérivé" de f)

    Si quelqu'un a une idée, une astuce, je suis preneur..

    Merci !

    -----

  2. #2
    invite57a1e779

    Re : Relation d'équivalence dans un anneau de polynome

    La formule de Taylor ?

  3. #3
    invite07dd2471

    Re : Relation d'équivalence dans un anneau de polynômes

    ça marche ça ? car là je travaille dans l'anneau K[X] à priori cette propriété doit être tout le temps vérifiée..
    Pour utiliser Taylor faudrait que f soit différentiable et même de classe Cm en y, donc que je considère f comme un fonction polynômiale d'un espace de Banach..

    Ce que je note f' c'est pas vraiment la dérivée car on ne sait pas si elle est bien défini, c'est pour ça que j'ai écrit le "polynôme dérivé" entre guillemets.
    c'est juste le polynôme défini par si f est défini par

  4. #4
    invitec317278e

    Re : Relation d'équivalence dans un anneau de polynômes



    comme tu le vois, le calcul ne nécessite aucune notion d'analyse, uniquement la formule du binôme.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite57a1e779

    Re : Relation d'équivalence dans un anneau de polynômes

    Citation Envoyé par fitzounet Voir le message
    Pour utiliser Taylor faudrait que f soit différentiable et même de classe Cm en y, donc que je considère f comme un fonction polynômiale d'un espace de Banach..
    Il existe une formule de Taylor formelle, valable dans les anneaux de polynômes, et qui est une identité algébrique.
    Consulter par exemple R. GODEMENT, Cours d'algèbre, 3e ed., Hermann, Paris, 1966, §30.5

  7. #6
    invite07dd2471

    Re : Relation d'équivalence dans un anneau de polynômes

    ah ok.. merci j'étais absolument pas au courant.. on est censés le savoir ça en licence ?

  8. #7
    invite57a1e779

    Re : Relation d'équivalence dans un anneau de polynômes

    Aucune idée...
    Dans ma jeunesse, on m'a défini la dérivation formelle des polynômes par la formule de Taylor en L1 (enfin l'équivalent de l'époque).

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