Les nombres complexes - Exo TS

[invitef8936fbd]

Voila, j'aimerai que vous jetiez un petit coup d'oeil sur mes réponses, pour savoir ce qui va et ce qui n'est pas compris.


L'exercice :
On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O;/u;/v)
A est le point d'affixe i
A tout point M du plan, d'affixe z distincte de i, on associe le point M' d'affixe z' = iz / (z - i)


1.
a) Déterminez les point M tels que M = M'
b) Déterminez le point B' associé à B d'affixe 1.
c) Déterminez le point C tel que le point associé C' ait pour affixe 2.

2. On pose z = x + iy et z' = x' + iy' avec x, y, x' et y' réels.
a) Calculez x' et y' en fonction de x et y.
b) Determinez l'ensemble des points M, distinctss de A, pour lesquels z' est réel.
c) Placez A, B, B', C, C' et sur une figuire (unité graphique : 4cm)


Ce que j'ai fait :


1.

a) M et M' sont deux points identiques.
Donc z = z'

z' = iz / (z - i)
z = iz / (z - i)
z(z - i) = iz
z(z - 2i) = 0

donc z = 0 ou z = 2i

Les points M tels que M = M' sont donc les points d'affixe 0 ou d'affixe 2i



b)

zb' = i / (1 - i)
zb' = [ i (1 + i) ] / [ (1 - i)(1 + i) ]
zb' = (i - 1) / 2
zb' = -1/2 + i/2



c)

2 = (i * zc) / (zc - i)
2(zc - i) = i * zc
zc(2 - i) = 2i
zc = 2i / (2 - i)
zc = [ (2i)(2 + i) ] / [ (2 - i)(2 + i) ]
zc = -2/5 + 4i/5





2.


a)

x' + iy' = [ i(x + iy) ] / [ x + iy - i ]
x' + iy' = [ i(x + iy)(x - iy + i) ] / [ (x + iy - i)(x - iy + i) ]
x' + iy' = [ i(x² + y² - y) ] / [ x² + y² - 2y + 1 ] - [ x ] / [ x² + y² - 2y + 1 ]

D'ou, par identification,

x' = [ x ] / [ x² + y² - 2y + 1 ]

y' = [ x² + y² - y ] / [ x² + y² - 2y + 1 ]
y' = [ x² + y² - y ] / [ x² + y² - 2y + 1 ]

Par contre, je n'arrive pas à s'implifier le tout...
Car je peux dire que y' = i + [ y - i ] / [ x² + y² -2y + 1 ] mais ça ne m'avance pas beaucoup pour la suite...


b)

Pour que z' réel, il faut que y' = 0.
Or un dénominateur ne peut etre nul
Donc c'est le numérateur qui doit l'etre.

x² + y² - y = 0

Seulement, pour résoudre ça, je suis bien embetée...
Donc si vous avez une petite sugestion, je suis preneuse.

c) L'axe des abcysses pour les réels, celui des ordonnés pour les imaginaires purs.
Et ensuite, il suffit de placer les points.


Merci d'avance pour vos remarques, conseils, et coup de pouce (pour la 2.b)
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[invite7c294408]

Salut,

les calculs me semblent corrects. Tu sembles bien maitriser les complexes. Tu y es presque!

Pour le b) finiole un petit peu en ecrivant ton equation sous la forme
(x-x1)^2 + (y-y1)^2 = c^2 ou x1,x2, et c sont des constantes.....geometriquement tu trouveras un beau cadeau!...

( aussi il faut verifier que ton denominateur ne s'annule pas ou imposer des conditions dessus....)

[invitef8936fbd]

Je dois donc reprendre l'expression :

y' = [ x² + y² - y ] / [ x² + y² - 2y + 1 ]

Ou je reprend juste le numérateur : x² + y² - y


Et l'exprimer sous la forme :

(x-x1)^2 + (y-y1)^2 = c^2

Mais x1, y1 et c sont des réels fixes ? (voire même des entiers ?)


Hum, ça me dit rien pour le moment, mais je vais chercher un peu quand même.

[invitef8936fbd]

Ca, en prenant que le dénominateur, je trouve :

x² = x²
(y - 1/2)² = y² - 2y + 1/4

Donc

x² + y² - y = 0
<=> x² + (y - 1/2)² - 1/4 = 0
<=> x² + (y - 1/2)² = 1/4
<=> x² + (y - 1/2)² = (1/2)²

Mais je vois pas trop ce que ça peut donner...
Ca me fait penser au théorème de Pythagore, donc à un triangle rectangle... Mais je vois pas comment un ensemble de solution peut etre un triangle rectangle...

[A voir en vidéo sur Futura]

[g_h]

x² + y² - y = 0
<=> x² + (y - 1/2)² - 1/4 = 0
<=> x² + (y - 1/2)² = 1/4
<=> x² + (y - 1/2)² = (1/2)²

Ceci est une équation de cercle, de centre ... et de rayon ...

[invitef8936fbd]

x² + (y - 1/2)² = (1/2)²
<=> (x - 0)² + (y - 1/2)² = (1/2)² (juste pour la forme)

donc les solutions de l'équation du cercle de centre (0, 1/2) et de rayon 1/2.

Merci pour tout là, car j'aurai jamais deviné ça seule.

[invite7c294408]

bravo!!

Pour ton denominateur tu peux montrer qu 'il ne s'annule jamais quelquesoit tes z=x+i*y. En exprimant ton expression comme un carre de quelquechose + 1, tu montres qu'il est toujours positif.

De maniere generale l 'equation d' un cercle de centre A est l'ensemble des points M tel que norme (vecteur( AM)) = constante
ou la constante est le rayon de ce cercle

Analytiquement ca donne la forme que tu as exprime.

On peut traduire ceci dans le cas des complexes aussi:
Si A a pour affixe z1= x1 + i*y1 et z represente l'affixe de ton point M alors cette meme equation devient

module (z - z1) = constante

Juste pour la curiosite qu' est-ce que ca donne dans ton cas?